Catenaria


Catenaria

Catenaria

Catenarias
Para el sistema de electrificación de alta potencia de los ferrocarriles, véase Catenaria (ferrocarril).

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus (propio de la cadena). Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la catenaria es la tractriz.

Contenido

Historia

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria.

La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

Descripción

La ecuación de la catenaria, tomando su mínimo en el punto (0,a) es:

y = a \, \cosh \left ({x \over a} \right ) = {a \over 2} \, \left (e^{x/a} + e^{-x/a} \right )

,

a =\left(\frac{T_o}{P}\right) \,\!

T_o \,\! es la componente horizontal de la tensión, que es constante, P es el peso por unidad de longitud del hilo y cosh la función coseno hiperbólico.

Si se desarrolla en series de Taylor la función cosh(x) \,\!, se obtiene:

cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + O^4(x) \,\!

Esto corresponde a la ecuación de una parábola más un término de cuarto orden. Es por este motivo que las gráficas son tan parecidas en el entorno de cero.

Relaciones importantes

La longitud del arco, con el origen de arco en el mínimo es:

l = a \cdot \sinh\left(\frac{x}{a}\right) \,\!

La tensión total del hilo es

T =\sqrt{T_o^2 + T_y^2} \,\!
T = P \cdot y \,\!

Aplicaciones

Las columnas de la Sagrada Familia de Barcelona siguen una catenaria.

Una curva catenaria invertida es un trazado útil para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Antoni Gaudí.

Véase también

Enlaces externos

Obtenido de "Catenaria"

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • catenária — s. f. Curva plana formada pelo próprio peso de um fio flexível suspenso em duas extremidades.   ‣ Etimologia: latim catenaria, feminino de catenariua, a, um, relativo a cadeia …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • catenaria — adjetivo,sustantivo femenino 1. [Curva] que está formada por una cadena suspendida entre dos puntos situados en diferentes verticales. sustantivo femenino 1. Tendido eléctrico elevado sobre postes para la toma de corriente eléctrica en las líneas …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • Catenarĭa — Catenarĭa, 1) Gattung der Sigillaria; 2) Kettenlinie, s.d …   Pierer's Universal-Lexikon

  • Catenarĭa — Catenarĭa, Kettenlinie (s.d.) …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Catenaria — Catenaria, die Kettenlinie, eine krumme Linie, welche eine an 2 Punkten befestigte, sonst ihrer eigenen Schwere überlassene Kette annimmt; catenarisch, kettenartig; Catenation, die Verkettung; catenirt, verkettet; catenulirt, aus kleinen Gelenken …   Herders Conversations-Lexikon

  • Catenaria — ► sustantivo femenino 1 Curva que forma una cadena o una cuerda suspendida por sus extremos entre dos puntos. 2 TECNOLOGÍA Sistema de suspensión de un cable eléctrico en los ferrocarriles. * * * catenaria (del lat. «catenarĭus», propio de la… …   Enciclopedia Universal

  • catenaria — {{#}}{{LM C07640}}{{〓}} {{[}}catenaria{{]}} ‹ca·te·na·ria› {{《}}▍ s.f.{{》}} Curva formada por una cadena, cuerda o algo semejante suspendidas entre dos puntos que no están situados en la misma vertical: • El tendido eléctrico de los trenes forma… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • catenaria — f Forma curva que adopta un cable flexible al ser suspendido de dos puntos que no se encuentran en la misma vertical …   Diccionario de Construcción y Arquitectur

  • catenària — ca|te|nà|ri|a Mot Esdrúixol Nom femení …   Diccionari Català-Català

  • catenaria — ca·te·nà·ria s.f. 1. TS geom. curva piana non algebrica per la quale la lunghezza di un determinato arco è proporzionale alla tangente trigonometrica dell angolo formato dalle due tangenti alla curva nei punti estremi dell arco stesso 2. TS mecc …   Dizionario italiano


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