Teorema de Pick

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Teorema de Pick
Uso del teorema de Pick para calcular el área del polígono.

El teorema de Pick es una f√≥rmula que relaciona el √°rea de un pol√≠gono simple cuyos v√©rtices tienen coordenadas enteras con el n√ļmero de puntos en su interior y en su borde que tengan tambi√©n coordenadas enteras. Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero. El teorema de Pick establece:

Sea un pol√≠gono simple cuyos v√©rtices tienen coordenadas enteras. Si B es el n√ļmero de puntos enteros en el borde, I el n√ļmero de puntos enteros en el interior del pol√≠gono, entonces el √°rea A del pol√≠gono se puede calcular con la f√≥rmula:

A= I + \frac{B}{2} - 1.


Georg Alexander Pick (1899)

El teorema, como se muestra aqu√≠ es solo v√°lido para pol√≠gonos simples, es decir, pol√≠gonos de una sola pieza que no tienen agujeros. Para una versi√≥n m√°s general del teorema el "‚ąí1" de la f√≥rmula puede ser reemplazado con " ‚ąí Ōá(P)", donde Ōá(P) es la Caracter√≠stica de Euler de P.

Georg Alexander Pick describió el resultado en 1899. El tetraedro de Reeve muestra que no existe un análogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un politopo contando los puntos en su interior y borde. Sin embargo, existe una generalización en dimensiones superiores mediante polinomios de Ehrhart. La fórmula también se generaliza a la superficie de los poliedros.

Demostración

El resultado se demuestra por inducción.

Considera un pol√≠gono P y un tri√°ngulo T con una arista en com√ļn con P. Asumimos que el teorema de Pick es cierto de forma independiente tanto para P como para T; queremos mostrar que tambi√©n es cierto para el pol√≠gono PT que se obtiene a√Īadiendo T a P. Dado que P y T comparten una arista, todos los puntos del borde a lo largo de la arista en com√ļn se a√Īaden como puntos interiores, excepto los dos puntos en los extremos que se a√Īaden como puntos en el borde. As√≠, siendo c el n√ļmero de puntos en el borde en com√ļn, tenemos que


\begin{align}
i_{PT} &= (i_P + i_T) + (c - 2), \\
b_{PT} &= (b_P + b_T) - 2(c - 2) - 2,
\end{align}

de manera que


\begin{align}
i_P + i_T &= i_{PT} - (c - 2), \\
b_P + b_T &= b_{PT} + 2(c - 2) + 2.
\end{align}

Dado que se est√° asumiendo que el teorema es cierto para P y T,


\begin{align}
A_{PT} &= A_P + A_T\\
&= (i_P + \frac{b_P}{2} - 1) + (i_T + \frac{b_T}{2} - 1)\\
&= (i_P + i_T) + \frac{b_P + b_T}{2} - 2\\
&= i_{PT} - (c - 2) + \frac{b_{PT} + 2(c - 2) + 2}{2} - 2\\
&= i_{PT} + \frac{b_{PT}}{2} - 1.
\end{align}

Sabiendo que cualquier polígono puede triangularse, si el teorema es cierto para P, pudiendo ser construido mediante n triángulos, también será cierto para polígonos construidos mediante n + 1 triángulos. Para terminar la prueba por inducción, se debe demostrar entonces que el teorema es cierto para cualquier triángulo.

Siendo cierto el teorema para cuadrados de lado 1, se puede deducir igualmente por inducción que lo es para rectángulos con lados paralelos a los ejes. Con ello, también es cierto, mediante aritmética básica, para los triángulos rectángulos resultantes de seccionar el rectángulo por cualquier diagonal, sabiendo que


\begin{align}
A_T &= \frac{A_R}{2}, \\
i_R &= 2i_T + i_d, \\
b_R &= (b_T - i_d) + (b_T - i_d - 2),
\end{align}

siendo id el n√ļmero de puntos internos de R cortados por la diagonal.

Cualquier tri√°ngulo T puede inscribirse un rect√°ngulo R con lados paralelos a los ejes a√Īadiendo como mucho tres tri√°ngulos rect√°ngulos U, V, W (con hipotenusas en las aristas de T no paralelas a alguno de los ejes). Su √°rea queda determinada como diferencia entre el √°rea de R y el √°rea de U, V, W. Con ello, tambi√©n es cierto el teorema para T, mediante aritm√©tica b√°sica, por ser cierto el teorema para todas ellas y sabiendo que


\begin{align}
i_R &= i_T + (i_U + i_{d_U}) + (i_V + i_{d_V}) + (i_W + i_{d_W}), \\
b_R &= (b_U - i_{d_U} - 1) + (b_V - i_{d_V} - 1) + (b_W - i_{d_W} - 1), \\
b_T &= i_{d_U} + i_{d_V} + i_{d_W} + 3,
\end{align}

siendo id el n√ļmero de puntos internos de R cortados por la hipotenusa de cada tri√°ngulo rect√°ngulo.

Por tanto, el teorema es cierto para cualquier triángulo, demostrando que también lo es para el polígono P y por inducción para cualquier polígono PT.


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