Grado de libertad (física)

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Grado de libertad (física)
Para otros usos de este término, véase Grados de libertad.

El n√ļmero de grados de libertad en un sistema f√≠sico se refiere al n√ļmero m√≠nimo de n√ļmeros reales que es necesario especificar para determinar completamente el estado f√≠sico. El concepto aparece en mec√°nica cl√°sica y en termodin√°mica.

En mecánica, por cada partícula libre del sistema y por cada dirección en la que ésta es capaz de moverse existen dos grados de libertad, uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad.

El n√ļmero de grados de libertad de un sistema cuando existen ligaduras entre las part√≠culas, ser√° el n√ļmero total de variables, menos el n√ļmero de ligaduras que las relacionan.

Obsérvese que esta definición no coincide ni con la definición de grados de libertad que se usa en ingeniería de máquinas, ni con la que se usa en ingeniería estructural.

Contenido

Grados de libertad en mec√°nica cl√°sica

En mec√°nica hamiltoniana el n√ļmero de grados de libertad de un sistema coincide con la dimensi√≥n topol√≥gica del espacio de fases del sistema. En mec√°nica lagrangiana el n√ļmero de grados de libertad coincide la dimensi√≥n del fibrado tangente del espacio de configuraci√≥n del sistema.

Un conjunto de N part√≠culas intereactuantes pero movi√©ndose sin restricciones en el espacio tridimensional tiene 6N grados de libertad (tres coordenadas de posici√≥n y tres velocidades). Si el conjunto de part√≠culas se mueve sobre un estado d-dimensional el n√ļmero de grados de libertad es 2d¬∑N.

Si existen k ligaduras entre las part√≠culas el n√ļmero de grados de libertad ser√°

 GL = 6N - k \le 6N

Ejemplos

  • Part√≠cula libre

Una sola partícula libre tiene 6 grados de libertad

  • Part√≠cula obligada a moverse sobre una superficie

La superficie supone una ligadura para las posiciones, ya que debe cumplirse

F(x,y,z) = 0\,

y otra para las velocidades, ya que la velocidad debe ser en todo momento tangente a la superficie, por lo que

0 = \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = \mathbf{v}\cdot\nabla F = v_x \frac{\partial F}{\partial x} + v_y \frac{\partial F}{\partial y} + v_z \frac{\partial F}{\partial z}

por tanto el n√ļmero de grados de libertad es

GL = 6 - 2=4\,

valor que coincide con lo que se espera para un movimiento en una variedad bidimensional.

  • Dos part√≠culas en los extremos de una varilla

Por tener dos partículas tenemos 12 grados de libertad, pero la condición de que la distancia entre las partículas sea fijada supone una ligadura para sus posiciones y otra para sus velocidades, lo que nos da

GL = 12 - 2=10\,

Estos grados de libertad se pueden representar por variables diferentes (las tres coordenadas del centro de la varilla y los dos ángulos que dan la orientación de ésta, con sus correspondientes velocidades).

  • Un s√≥lido r√≠gido

Un s√≥lido formado por N part√≠culas posee en principio 6N variables. Pero el n√ļmero de ligaduras es:

    • Para la primera part√≠cula, ninguna
    • Para la segunda part√≠cula, 2 (la distancia a la primera y su velocidad, como en el caso de dos part√≠culas unidas por una varilla)
    • Para la tercera part√≠cula, 4 (las distancias a las dos primeras part√≠culas y sus correspondientes velocidades)
    • Para la cuarta y siguientes, 6, ya que una vez dada la distancia a tres part√≠culas, la distancia a todas las dem√°s est√° tambi√©n fijada).

Por tanto el n√ļmero de grados de libertad es

GL = 6N - 2 - 4 - 6(N-3) = 12\,

que se pueden representar por seis variables (la posición del centro de masa y los ángulos de Euler) y sus correspondientes velocidades.


En general, no todas las ligaduras pueden representarse mediante una reducci√≥n en el n√ļmero de variables (aunque s√≠ en el n√ļmero de variables independientes). Cuando tenemos un sistema en el cual las ligaduras no son integrables, se dice que el sistema es no hol√≥nomo.

Es importante se√Īalar que la convenci√≥n para contabilizar los grados de libertad en ingenier√≠a mec√°nica es diferente, siendo justamente la mitad que en los casos (1) y (2).

Grados de libertad en mecánica estadística

Teorema de equipartición de la energía

Artículo principal: Teorema de equipartición

En el límite clásico de la mecánica estadística la energía de un sistema en equilibrio térmico con n grados de libertad cuadráticos e independientes es:

U = \langle E \rangle = n\frac{k_B T}{2}

Donde:

k_B\, es la constante de Boltzmann
T\, es la temperatura
n\, es el n√ļmero de grados de libertad del sistema

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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