Tangente (geometría)

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Tangente (geometría)
Este artículo trata sobre el concepto en geometría. Para otros usos de este término, véase tangente (trigonometría).
en verde: línea tangente
en azul: línea secante
en rojo: cuerda

Tangente proviene del lat√≠n ¬ętangens¬Ľ=que toca.[1] La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que ¬ętoca¬Ľ a la curva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que ¬ęforman un √°ngulo nulo¬Ľ en la vecindad de dicho punto). Esta noci√≥n se puede generalizar, desde la recta tangente a un c√≠rculo o una curva, a ¬ęfiguras tangentes¬Ľ en dos dimensiones (es decir, figuras geom√©tricas con un √ļnico punto de contacto), hasta los espacios tangentes, en donde se desarrolla el concepto de ¬ętangencia¬Ľ en m√°s dimensiones.

Contenido

Geometría en el plano

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Recta tangente a una curva

Un segmento de recta que tiene un solo punto de contacto con una curva dada, se dice que es la recta tangente a la curva en dicho punto. Si tiene dos puntos de contacto, se llama recta secante.

Partiendo del plano geométrico, podemos considerar los siguientes casos de tangencia:

Construcción Geométrica

CircunferenciasTangentes.svg

Intuitivamente, la tangente TA es la posición límite de la recta o el límite de las rectas secantes a la curva C, que pasan por los puntos A y Mi cuando se aproximan indefinidamente por M1, M2, M3, M4 ...

Construcción analítica

Artículo principal: Derivada

Analíticamente, si C representa la gráfica de una función f(x), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

\frac {f(x) - f(a)} {x - a}, donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA ser√°:

\lim_{x \to a} \frac {f(x) -  f(a)} {x - a}

Es, por definici√≥n: f '(a), el n√ļmero derivado de f en a.

La ecuación de la tangente es Ta: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas cartesianas, viene dada por  \frac {-1} {f'(a)}.

Su ecuaci√≥n es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), siempre que f'(a) ‚Ȇ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero s√≠ en problemas geom√©tricos relacionados con las secciones c√≥nicas, como por ejemplo: para determinar el foco de una par√°bola.

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Circunferencias tangentes

Dada una circunferencia de centro  C_i \; y radio  r_i \; , es tangente en un punto  P \; a otra circunferencia de centro  C_j \; y radio  r_j \; si el los dos centros de las circunferencias y el punto de tangencia están sobre la misma recta, y el punto  P \; de tangencia es la intersección de las dos circunferencias.

Así partiendo de una circunferencia y un punto P, de la misma, trazando una recta que pase por el centro de la circunferencia y el punto P, cualquier circunferencia con centro en esta recta, que pase por P, será tangente a la circunferencia dada en ese punto.

Circunferencia tangente a una recta

Dada una recta r y un punto P de la misma, trazando la perpendicular a la recta r por P, cualquier circunferencia con centro en esta perpendicular que pase por P es tangente a r en el punto P.

Por el razonamiento inverso podemos trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto P dado. Su ecuación se llama ecuación de la desdoblada.

Plano tangente

Artículo principal: Espacio tangente
Tangentialvektor.svg

En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto. Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gr√°fica de al lado. Empecemos suponiendo que tenemos una curva \scriptstyle \gamma en la variedad M que pasa por alguna posici√≥n elegida cualquiera: \scriptstyle x\in M. Es decir un mapeo \scriptstyle \gamma\ :\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\to M diferenciable que satisface \scriptstyle \gamma(0)=x y \scriptstyle \gamma'(0)=v. Resulta que el conjunto de todos estos vectores forman el espacio tangente \scriptstyle T_xM de x en M.

Referencias

  1. ‚ÜĎ Real Academia Espa√Īola, 2001

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

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  • tangente ‚ÄĒ adjetivo,sustantivo femenino 1. √Ārea: geometr√≠a [L√≠nea, superficie] que toca a otra o tiene puntos comunes con ella: dos c√≠rculos tangentes. Frases y locuciones 1. salirse / irse por la tang ‚Ķ   Diccionario Salamanca de la Lengua Espa√Īola

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