Ciclo (permutación)

Un ciclo que deja fijos a los elementos 2 y 5 y mueve cíclicamente al resto.

Un ciclo es un tipo especial de permutación que fija cierto número de elementos (quizás ninguno) mientras que mueve cíclicamente el resto. En caso de no fijar ningún elemento lo denominaríamos permutación cíclica.

Más concretamente, si un ciclo afecta a un elemento x cualquiera del conjunto, al aplicar dicho ciclo reiteradamente todos los elementos afectados por el reordenamiento pasarán por la posición de x en algún momento. Y de forma recíproca, el elemento x pasará por todas las posiciones de todos los elementos afectados por la permutación.

Los ciclos son tipos de permutación especialmente importantes, pues pueden usarse como piezas básicas para construir cualquier otra permutación.

Contenido

Definición formal

Sea n\geq2 y 2\leq r\leq n. Un ciclo de longitud r o r-ciclo de Sn es una permutación σ tal que del conjunto {1,2,...,n} hay r elementos diferentes secuenciados, a1,a2,...,ar, para los cuales se cumple que:

M(σ) = {a1,a2,...,ar}, de tal manera que σ(x) = x si x\neq a_i \forall i.
σ(a1) = a2,σ(a2) = a3,...,σ(ar − 1) = ar y σ(ar) = a1.

Ejemplos

Ejemplo de un ciclo
  • La permutación σ es un ciclo que no fija ningún elemento. Por ello, también se dice que es una permutación cíclica.

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 8 \\ 4 & 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & 2 & 5 & 8 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 2 & 5 & 8 & 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}
Ejemplo de una permutación formada por dos ciclos
  • La permutación ω no es un ciclo, ya que es una permutación compuesta por dos ciclos.

\omega = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 & 8 \\ 4 & 7 & 8 & 2 \end{pmatrix}
De hecho, se demuestra que cualquier permutación puede descomponerse como producto de ciclos disjuntos.[1]
  • Transposición: es un ciclo de longitud 2, es decir, un 2-ciclo.

Propiedades

Notación: Si un elemento a de un conjunto A se ve 'afectado' por un ciclo \sigma:A\to A entonces decimos que a\in M(\sigma).

  • Sea σ un ciclo de longitud r, entonces
Si a \in M(\sigma) entonces se puede escribir como
σ = (a,σ(a),...,σr − 1(a))
y r es el mínimo natural k\geq1 : \sigma^k(a)=a.
  • Sea σ un ciclo de longitud r, entonces
σr = Id y además r es el mínimo natural k\geq1 : \sigma^k = Id.
De ésta proposición se deduce directamente el segundo enunciado de la proposición 1.
  • Sea σ un ciclo de longitud r, entonces
σri = σ i

Referencias

  1. Birkhoff & MacLane, A survey of modern algebra, McMillan Publishing, 1977. ISBN 0-02-310070-2

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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