Espacio compacto


Espacio compacto

En topología, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La propiedad de compacidad es una versión más fuerte de esta propiedad.

Contenido

Definición

Definición general

La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de cubrimiento abierto:

Un cubrimiento abierto de un subconjunto AX de un espacio topológico, es una familia de conjuntos abiertos {Oi}iI de X, tales que su unión "cubre" a A :

\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A

Dado un cubrimiento C de un conjunto A, un subcubrimiento D es una subfamilia de C, DC que sigue siendo un cubrimiento de A —esto es, una subcolección de conjuntos de C que aún cubre a A—.

La definición de compacidad es entonces:

Un espacio topológico X se dice compacto si, dado un cubrimiento abierto de X cualquiera, existe un subcubrimiento finito del mismo.

Ejemplo.

  • El conjunto K = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} ⊆ R con la topología heredada de la usual de R es compacto. En efecto, dado un entorno de 0, este incluye a todos los 1/n salvo un número finito —ya que la sucesión {1/n}nN converge a 0—. Así, dado un cubrimiento abierto de K, tomando un abierto O que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/n no contenido en O, esta subcolección finita cubre a K.
  • El intervalo abierto (0, 1) ⊆ R no es compacto (con la topología usual heredada de R). En efecto, la familia { (0, 1 − 1/n) }n > 1 es un cubrimiento abierto del intervalo. Sin embargo, dada cualquier subfamilia finita, existe un (0, 1 − 1/k) en ella que contiene a los demás abiertos —buscando el k mínimo—, luego dicha subfamilia no cubre (0, 1) por entero.

Caracterizaciones equivalentes

La compacidad de un espacio admite varias formulaciones alternativas:

Las siguientes afirmaciones sobre un espacio topológico X son equivalentes entre sí:

  1. X es compacto.
  2. Si {Fi}iI es una familia de subconjuntos cerrados en X con la propiedad de la intersección finita, entonces ∩IFi ≠ ∅.
  3. Toda red en X admite una subred convergente.
  4. La función al punto X\to\ast es propia.

Compacidad en espacios métricos

Un subconjunto A de un espacio métrico y, en particular, del espacio euclídeo \mathbb{R}^n, es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: toda sucesión en A admite una subsucesión convergente.

Ejemplos

  • El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un intervalo cerrado de la recta.
  • Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del espacio euclídeo.
  • Un ejemplo de espacio no compacto es la recta real, pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito.
  • Tampoco es compacto el conjunto de los números racionales, pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.

Teoremas asociados a la compacidad

Teorema de Heine-Borel

Artículo principal: Teorema de Heine-Borel

Por el teorema de Heine-Borel, un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Para subconjuntos del espacio euclídeo, basta con que éste sea cerrado y acotado, que es una caracterización útil.

Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad.

Teorema de Arzelá-Ascoli

Artículo principal: Teorema de Arzelá-Ascoli

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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