Equilibrio mec√°nico

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Equilibrio mec√°nico

El equilibrio mec√°nico es un estado estacionario en el que se cumple alguna de estas dos condiciones:

La segunda definici√≥n es m√°s general y √ļtil, especialmente en mec√°nica de medios continuos.

Contenido

Definición basada en equilibrio de fuerzas

Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar moviéndose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme. Esto es ampliable a un sólido rígido.

Condición necesaria de equilibrio

Las ecuaciones necesarias de equilibrio mec√°nico son:

  • Una part√≠cula o un s√≥lido r√≠gido est√° en equilibrio de traslaci√≥n cuando: la suma de todas las fuerzas que act√ļan sobre el cuerpo es cero.

\sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i}=0 \,

En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión; descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta:

\vec{F}_{i}= F_{i,x}\,\vec{u}_x + F_{i,y}\,\vec{u}_y+ F_{i,z}\,\vec{u}_z\,

Y como un vector, es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, se tiene:
  1. \sum_{i=1}^{n} F_{i,x}=0 \,
  2. \sum_{i=1}^{n} F_{i,y}=0 \,
  3. \sum_{i=1}^{n} F_{i,z}=0 \,
Un s√≥lido r√≠gido est√° en equilibrio de traslaci√≥n cuando la suma de las componentes de las fuerzas que act√ļan sobre √©l es cero.
  • Un s√≥lido r√≠gido est√° en equilibrio de rotaci√≥n, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.
\sum_{i=1}^{n} \vec{M}_{i}=0 \,
En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:
\vec{M}_{i}= M_{i,x}\,\vec{u}_x + M_{i,y}\,\vec{u}_y+ M_{i,z}\,\vec{u}_z\,
Resultando:
  1. \sum_{i=1}^{n} M_{i,x}=0 \,
  2. \sum_{i=1}^{n} M_{i,y}=0 \,
  3. \sum_{i=1}^{n} M_{i,z}=0 \,
Un s√≥lido r√≠gido est√° en equilibrio de rotaci√≥n cuando la suma de las componentes de los momentos que act√ļan sobre √©l es cero.

Un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibrio de traslación y de rotación.

Se distingue un tipo particular de equilibrio mecánico llamado equilibrio estático que correspondería a una situación en que el cuerpo está en reposo, con velocidad cero: una hoja de papel sobre un escritorio estará en equilibrio mecánico y estático, un paracaidista cayendo a velocidad constante, dada por la velocidad límite estaría en equilibrio mecánico pero no estático.

Condiciones suficientes

Tal como se ha expuesto en la secci√≥n anterior, dado un s√≥lido una condici√≥n necesaria para que este s√≥lido est√© en equilibrio mec√°nico es que la suma de reacciones y el momento resultante de estas reacciones sea cero. Si el s√≥lido es indeformable la condici√≥n adem√°s de necesaria es suficiente, sin embargo, para ciertos s√≥lidos deformables la condici√≥n de que la suma de fuerzas y momentos se anule puede no ser suficiente. En ese √ļltimo caso adem√°s deben satisfacerse locamente las ecuaciones diferenciales de equilibrio:

\begin{cases} 
\cfrac{\part \sigma_{xx}}{\part x}+ \cfrac{\part \sigma_{xy}}{\part y}+ \cfrac{\part \sigma_{xz}}{\part z} + b_x = 0\\
\cfrac{\part \sigma_{yx}}{\part x}+ \cfrac{\part \sigma_{yy}}{\part y}+ \cfrac{\part \sigma_{yz}}{\part z} + b_y = 0\\
\cfrac{\part \sigma_{zx}}{\part x}+ \cfrac{\part \sigma_{zy}}{\part y}+ \cfrac{\part \sigma_{zz}}{\part z} + b_z = 0 \end{cases}

Donde:

\sigma_{ij}\, denotan las componentes del tensor de tensiones.
b_{i}\, es la fuerza por unidad de volumen actuante en cada punto del sólido.

Las condiciones anteriores también son aplicables a un fluido y para la mayoría de fluidos admiten las ecuaciones anteriores son equivalentes a una forma más simple.

Definición basada en la energía potencial

La definición anterior, basada en fuerzas, no es fácilmente generalizable a los medios continuos, ni proporciona información sobre uno de los aspectos más importantes del estado de equilibrio: la estabilidad. Para este tipo de sistemas lo más cómodo es usar la segunda definición, basada en la energía potencial; debido a la relación fundamental entre fuerza y energía, ambas son equivalentes. Además, resulta más natural definir el equilibrio estable. Si la función de energía potencial es diferenciable, entonces los puntos de equilibrio coincidirán con los puntos donde ocurra un máximo o un mínimo locales de la energía potencial.

Estabilidad del equilibrio

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.

Equilibrio meta-estable (1), inestable (2) y estable (3).

Un resultado elemental del an√°lisis matem√°tico dice una condici√≥n necesaria para la existencia de un extremo local de una funci√≥n diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en alg√ļn punto. Para determinar problemas unidimensionales, comprobar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificar las derivadas segundas de la energ√≠a potencial:

  • Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energ√≠a potencial < 0 y por tanto la energ√≠a potencial tiene un m√°ximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posici√≥n de equilibrio, por peque√Īo que √©ste sea, entonces se alejar√° m√°s y m√°s de √©l (de ah√≠ el nombre inestabilidad para esa situaci√≥n).
  • Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces se encuentra una regi√≥n donde la energ√≠a no var√≠a. As√≠, si el sistema es desplazado de la posici√≥n de equilibrio una cantidad suficientemente peque√Īa, posiblemente no volver√° a acercarse al equilibrio pero tampoco diverger√° mucho de la posici√≥n anterior de equilibrio.
  • Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energ√≠a potencial tiene un m√≠nimo local. La respuesta del sistema frente a peque√Īas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente peque√Īo de del punto de equilibrio es volver u oscilar alrededor del punto de equilibrio. Si existe m√°s de un punto de equilibrio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energ√≠a potencia es mayor que el m√≠nimo absoluto representa un estado metaestable.

Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales) la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x1,...,xn) definida por la matriz hessiana de la energía potencial:

  • Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadr√°tica Q(x1,...,xn) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son n√ļmeros positivos.
  • Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadr√°tica Q(x1,...,xn) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.
  • Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadr√°tica Q(x1,...,xn) es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que seg√ļn ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero seg√ļn otras habr√° inestabilidad unidimensional

Véase también

Referencias

  • Marion & Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems. Fourth Edition, Harcourt Brace & Company (1995). (en ingl√©s)
  • Resnick, R. and D. Halliday (1966) Physics, Part 1, John Wiley & Sons, New York, 646 pp + Appendices. (en ingl√©s)

Wikimedia foundation. 2010.


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