Relatividad general

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Relatividad general

Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general

Representaci√≥n art√≠stica de la explosi√≥n de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de a√Īos luz. De ser v√°lido el principio de acci√≥n a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectar√≠an inmediatamente, m√°s tarde nos llegar√≠an las de origen electromagn√©tico, que se transmiten a la velocidad de la luz.

La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.

El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el Principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.

La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.

Contenido

Historia

Poco despu√©s de la publicaci√≥n de la teor√≠a de la relatividad en 1905, Albert Einstein comenz√≥ a pensar en c√≥mo incorporar la gravedad en su nuevo marco relativista. En 1907, comenzando con un sencillo experimento mental basado en un observador en ca√≠da libre, se embarc√≥ en lo que ser√≠a una b√ļsqueda de ocho a√Īos de una teor√≠a relativista de la gravedad. Despu√©s de numerosos desv√≠os y falsos comienzos, su trabajo culmin√≥ en noviembre de 1915 con la presentaci√≥n a la Academia Prusiana de Ciencias de lo que hoy son conocidas como las ecuaciones de campo de Einstein. Estas ecuaciones especifican c√≥mo la geometr√≠a del espacio y el tiempo est√° influenciado por la materia presente, y forman el n√ļcleo de la teor√≠a de la relatividad general de Einstein.

Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy dif√≠ciles de resolver. Einstein utiliz√≥ los m√©todos de aproximaci√≥n en la elaboraci√≥n de las predicciones iniciales de la teor√≠a. Pero ya en 1916, el astrof√≠sico Karl Schwarzschild encontr√≥ la primera soluci√≥n exacta no trivial de las ecuaciones de campo de Einstein, la llamada M√©trica de Schwarzschild. Esta soluci√≥n sent√≥ las bases para la descripci√≥n de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos como agujeros negros. En el mismo a√Īo, los primeros pasos hacia la generalizaci√≥n de la soluci√≥n de Schwarzschild a los objetos con carga el√©ctrica fueron tomadas, que finalmente resultaron en la soluci√≥n de Reissner-Nordstr√∂m, ahora asociada con la carga el√©ctrica de los agujeros negros. En 1917, Einstein aplic√≥ su teor√≠a al universo en su conjunto, iniciando el campo de la cosmolog√≠a relativista. En l√≠nea con el pensamiento contempor√°neo, asumi√≥ un universo est√°tico, a√Īadiendo un nuevo par√°metro a su √°mbito original ecuaciones -la constante cosmol√≥gica- para reproducir esa "observaci√≥n". En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros han demostrado que nuestro universo se est√° expandiendo. Esto es f√°cilmente descrito por las soluciones encontradas por Friedmann para la expansi√≥n cosmol√≥gica en 1922, que no requieren de una constante cosmol√≥gica. Lema√ģtre utiliz√≥ estas soluciones para formular la primera versi√≥n de los modelos del Big Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. Einstein declar√≥ m√°s tarde la constante cosmol√≥gica el mayor error de su vida.

Durante ese per√≠odo, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teor√≠as f√≠sicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teor√≠a newtoniana. El mismo Einstein hab√≠a demostrado en 1915 c√≥mo su teor√≠a explica el avance del perihelio an√≥malo del planeta Mercurio sin ning√ļn par√°metro arbitrario. Del mismo modo, en una expedici√≥n de 1919 liderada por Eddington confirmaron la predicci√≥n de la relatividad general para la desviaci√≥n de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919, haciendo a Einstein instant√°neamente famoso. Sin embargo, la teor√≠a ha entrado en la corriente de la f√≠sica te√≥rica y la astrof√≠sica s√≥lo con el desarrollo de aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los f√≠sicos empezaron a comprender el concepto de un agujero negro, e identificar la manifestacion de objetos astrof√≠sicos como los cu√°sares. Cada vez m√°s precisas, las pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teor√≠a, y la cosmolog√≠a relativista, tambi√©n se volvi√≥ susceptible a encaminar pruebas observacionales.

¬ŅPor qu√© es necesaria la teor√≠a de relatividad general?

Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujeron a la aceptación de la teoría prácticamente por la totalidad de los físicos. Eso llevó a que antes de la formulación de la relatividad general existieran dos teorías físicas incompatibles:

La necesidad de buscar una teor√≠a que integrase, como casos l√≠mites particulares, las dos anteriores requer√≠a la b√ļsqueda de una teor√≠a de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Adem√°s de incluir la gravitaci√≥n en una teor√≠a de formulaci√≥n covariante, hubo otra raz√≥n adicional. Einstein hab√≠a concebido la teor√≠a especial de la relatividad como una teor√≠a aplicable s√≥lo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacci√≥n de Einstein con su creencia de que la teor√≠a era aplicable s√≥lo a sistemas inerciales le llev√≥ a buscar una teor√≠a que proporcionara descripciones f√≠sicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.

Esta b√ļsqueda era necesaria, ya que seg√ļn la relatividad especial ninguna informaci√≥n puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relaci√≥n de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acci√≥n a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instant√°neamente a trav√©s del espacio. La contradicci√≥n entre ambas teor√≠as es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevar√≠a impl√≠cita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz.

Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.

En esta visión, la gravitación sólo sería una pseudo-fuerza (equivalente a la fuerza de Coriolis, o a la fuerza centrífuga) efecto de haber escogido un sistema de referencia no-inercial.

Principios generales

Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:

Principio de covariancia

Artículo principal: Principio de covariancia

El principio de covariancia es la generalizaci√≥n de la teor√≠a de la relatividad especial, donde se busca que las leyes f√≠sicas tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia. Esto √ļltimo equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles, y desde el punto de vista f√≠sico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendr√°n la misma forma matem√°tica y contendr√°n los mismos t√©rminos. √Čsta fue la principal motivaci√≥n de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general.

El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la "invariancia" de forma buscada, satisfaciéndose el principio físico de covariancia.

El principio de equivalencia

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como de "gravedad cero"). Se dice por ello que son observadores inerciales.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teor√≠a de la relatividad general lo constituy√≥ el principio enunciado por Albert Einstein en el a√Īo 1912: principio de equivalencia, al que su autor calific√≥ como ¬ęla idea m√°s feliz de mi vida¬Ľ. Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en ca√≠da libre y otro que se mueve en una regi√≥n del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado f√≠sico sustancialmente similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.

La mecánica clásica distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) o cuerpos de movimiento no inercial (aquellos sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:

m = \frac{F}{a}

Donde a la aceleraci√≥n, F la fuerza y m la masa. La fuerza pod√≠a ser de origen mec√°nico, electromagn√©tico o, c√≥mo no, gravitatorio. Seg√ļn los c√°lculos de Galieo y de Newton, la aceleraci√≥n gravitatoria de los cuerpos era constante y equival√≠a a 9,8 m/s2 sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atra√≠do hacia el centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, seg√ļn los principios de la mec√°nica cl√°sica un cuerpo en ca√≠da libre no es un sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra.

Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generada por la presencia de materia. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema (localmente) inercial, ya que no está sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad no es como tal en relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta ninguna aceleración y es incapaz de discernir si está atravesando o no, un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial.

El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, "sienten su peso").

Ejemplos de sistemas inerciales seg√ļn el Principio de Equivalencia
Sistema ¬ŅEs inercial?
(Principio de Equivalencia)
¬ŅEs inercial?
(Mec√°nica newtoniana)
Cuerpo en caída libre Sí No
Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre No Sí
Planeta orbitando alrededor del sol Sí No
Nave precipitándose hacia la tierra Sí No
Cohete despegando desde una base de lanzamiento Sí No

Aunque la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente, toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado en el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.

La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centr√≠fuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos √ļltimos supuestos su aparici√≥n es debida a la elecci√≥n de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotaci√≥n). En el caso de la gravedad, √ļnicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que s√≠ lo es (un cuerpo en ca√≠da libre).

Aunque el principio de equivalencia fue hist√≥ricamente importante en el desarrollo de la teor√≠a, no es un ingrediente necesario de una teor√≠a de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teor√≠as m√©tricas de la gravedad, como la teor√≠a relativista de la gravitaci√≥n prescindan del principio de equivalencia. Adem√°s conviene se√Īalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagn√©ticos, por ejemplo una part√≠cula cargada movi√©ndose a lo largo de una geod√©sica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitir√° radiaci√≥n, a diferencia de una part√≠cula cargada movi√©ndose a lo largo de una geod√©sica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia hist√≥rica no es parte esencial de una teor√≠a relativista de la gravitaci√≥n.

Formulación y consideraciones generales

No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los míos son mucho mayores.
A. Einstein, en una carta a una ni√Īa de nueve a√Īos.

Matemáticamente, Einstein modelizó la geometría del espacio-tiempo por una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía en dicho punto.

Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energ√≠a. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma rec√≠proca la materia le dice al espacio como curvarse. La ecuaci√≥n de campo posible no es √ļnica, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observaci√≥n. La relatividad general se distingue de otras teor√≠as de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura.

Aunque todavía no existe una teoría cuántica de la gravedad que incorpore tanto a la mecánica cuántica como a la teoría de la relatividad general y que proponga una ecuación de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos físicos dudan que una teoría cuántica de la gravedad pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

La curvatura del espacio-tiempo

Artículo principal: Curvatura del espacio-tiempo

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: la contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz".[1]

Supongamos que un fot√≥n emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservaci√≥n del tetramomentum la energ√≠a conservada del fot√≥n permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fot√≥n (que es un sistema inercial, es decir, se halla en ca√≠da libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energ√≠a conservada del fot√≥n no se altera como consecuencia de la acci√≥n de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, seg√ļn la conocida f√≥rmula de la f√≠sica cu√°ntica, la energ√≠a de un fot√≥n es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h: E = hőĹ.

En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astr√≥nomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados ser√≠an muy diferentes: el astr√≥nomo podr√≠a comprobar c√≥mo el fot√≥n, por efecto de su ca√≠da hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energ√≠a potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto √ļltimo, su frecuencia se corre hacia el azul.[2] Los fen√≥menos de absorci√≥n de energ√≠a por los fotones en ca√≠da libre y corrimiento hacia el azul se expresan matem√°ticamente mediante las siguientes ecuaciones:


\ E_{obs}=E_{con} e^{-\Phi}
\ h \nu_{rec}=h \nu_{em} e^{-\Phi}
\nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}\,


donde E_{obs}\, es la energ√≠a medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astr√≥nomo), \ \Phi el potencial gravitatorio de la regi√≥n donde se encuentra √©ste, \ E_{con} la energ√≠a conservada del fot√≥n, őĹem la frecuencia de emisi√≥n, őĹrec es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y \ h la constante de Planck.

Ahora bien, en el p√°rrafo anterior hemos demostrado que la energ√≠a conservada del fot√≥n permanece invariante. Por tanto, ¬Ņc√≥mo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medici√≥n de la energ√≠a obtenidos por el astr√≥nomo (Eobs) y la energ√≠a conservada del fot√≥n (Econ)? La √ļnica manera de resolver esta contradicci√≥n es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuaci√≥n:

\ \nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}

puede escribirse de este modo:

\ \frac{\mbox{ciclos}}{\Delta t_{obs}}=
\frac{\mbox{ciclos}}{\Delta t_{em}} e^{-\Phi}

Es decir, la frecuencia es igual al n√ļmero de ciclos que tienen lugar en un determinado per√≠odo (generalmente, un segundo). Donde őĒtem es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracci√≥n gravitatoria de √©ste), mientras que őĒtobs es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre). De ah√≠ se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matem√°ticas:


\Delta t_{em} = \Delta t_{obs} e^{-\Phi}\,
\Delta t_{obs} = \Delta t_{em} e^{\Phi}\,


En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

\lim_{r\to 0} \Delta t_{obs}=
\Delta t_{em} e^{-\infty} \to \lim_{r\to 0} \Delta t_{obs}= 0

En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espacio-tiempo llano.
Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de universo de estas partículas son geodésicas ("rectas"), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximación progresiva.

La contracci√≥n del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el a√Īo 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagn√©ticos a una cierta altura y se procedi√≥ a emitir radiaci√≥n desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones hab√≠an experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a trav√©s del campo gravitatorio terrestre.

Hoy en d√≠a, el fen√≥meno de la contracci√≥n del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisi√≥n extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la se√Īal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ah√≠ que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situaci√≥n exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.

Desde un punto de vista te√≥rico, el art√≠culo de Einstein de 1911 tuvo una importancia a√ļn mayor. Pues, la contracci√≥n del tiempo conllevaba tambi√©n, en virtud de los principios de la relatividad especial, la contracci√≥n del espacio. De ah√≠ que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.

En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado.

Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.

Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general

La derivada covariante

Los cuerpos en ca√≠da libre (como las naves en √≥rbita) son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula (\nabla_{\vec u} u^r = 0). Por ello, no experimentan ning√ļn tipo de aceleraci√≥n inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin embargo, un observador externo, como un astr√≥nomo situado en la Tierra, puede observar c√≥mo dicho cuerpo en ca√≠da libre se aproxima a la Tierra con una aceleraci√≥n creciente (de ah√≠ que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero -\frac{d v^r}{dt} \not= 0 -)
Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de 9,8m / s2 (y por lo tanto la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor\nabla_{\vec u} u^r = 9,8[3] ). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada ordinaria de su velocidad es cero (\frac{d v^r}{dt} = 0 )

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoría de la relatividad general es el de derivada covariante (a veces impropiamente llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática. Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad \left(\frac{D \vec u}{d\tau}\right) ó \nabla_{\vec u} \vec u[4] es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleraci√≥n ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleraci√≥n inercial. Seg√ļn la mec√°nica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleraci√≥n son id√©nticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mec√°nicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo est√° sometido a un campo gravitatorio, su aceleraci√≥n ordinaria cambia, pero no su aceleraci√≥n inercial. De ah√≠ que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teor√≠a el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:

\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta (u^\alpha \vec e_\alpha)

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha (\partial_\beta \vec e_\alpha)

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente \ \mu de la derivada parcial de \ e_\alpha respecto a \ \beta: \partial_\beta \vec e_\alpha = \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu. De este modo:

\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu

Realizamos un intercambio de √≠ndices (\ \mu por \ \alpha) en el √ļltimo t√©rmino del segundo miembro de la ecuaci√≥n:

\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \vec e_\alpha

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu) \vec e_\alpha
\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu

Generalizamos dichos componentes multiplic√°ndolos por el componente \ \beta de la tetravelocidad (\ u^\beta = \frac{du}{d \tau}) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

\frac{dx^\beta}{d \tau}\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a \frac{dx^\beta}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \frac{dx^\beta}{d \tau}
\nabla_\vec u u^a = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en ca√≠da libre) \nabla_\vec u u^a = 0, esta √ļltima ecuaci√≥n toma la siguiente forma:

0 = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta
\frac{du^\alpha}{d \tau} = - \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima en las proximidades del perihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton[5] y Kepler.[6]

A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo ex) respecto a otra cordenada (pongamos y) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

\ \Gamma^\alpha_{\beta\mu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\sigma} (\partial_\mu g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\beta\mu})

Los símbolos de Christoffel constituyen el parámetro principal que determina cuán grande es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos conocer cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teoría de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.

Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo

Artículo principal: Principio de acoplamiento mínimo

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones:

  • La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
  • La m√©trica de Minkowski es sustituida por una formulaci√≥n general del tensor m√©trico.
\eta _{\mu \nu} \longrightarrow g_{\mu \nu}\left ( x \right )
\partial_\mu \longrightarrow \nabla_\mu \left ( x \right )

De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

\partial_\beta u^\alpha = 0 \to \nabla_\beta u^\alpha = 0

Ley de conservación de la energía:

\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0 \to \nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta - \partial_\beta A^\alpha
F_{\alpha \beta} = \nabla_\alpha A^\beta - \nabla_\beta A^\alpha
F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta + \Gamma^\mu_{\beta\alpha}A^\beta -\partial_\beta A^\alpha - \Gamma^\mu_{\alpha\beta}A^\alpha
\Gamma^\alpha_{\mu\beta} = \Gamma^\beta_{\mu\alpha}


Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura Derivada covariante
Objeto o ley f√≠sico-matem√°tica Espacio-tiempo llano Espacio-tiempo curvo ¬ŅSe produce alteraci√≥n
por la curvatura?
Ley de conservación
de la energía
\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0 \nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0 Sí
Tensor electromagnético F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i F_{ij} = \nabla_i A_j - \nabla_j A_i = \partial_i A_j - \partial_j A_i No
Ecuaciones de Maxwell UNIQ44a9f3fc5a41722d-math-0000012A-QINU UNIQ44a9f3fc5a41722d-math-0000012B-QINU No
Velocidad de la luz \ c \ c No
Ecuación de un sistema inercial \frac{du_\alpha}{dt} = 0 \nabla_\vec u \vec u = \frac{du_\alpha}{dt} + \Gamma^\alpha_{\beta\nu}u_\beta u_\mu= 0 Sí
Aceleración UNIQ44a9f3fc5a41722d-math-00000130-QINU UNIQ44a9f3fc5a41722d-math-00000131-QINU Sí
Volumen UNIQ44a9f3fc5a41722d-math-00000132-QINU UNIQ44a9f3fc5a41722d-math-00000133-QINU Sí
  • Ecuaci√≥n l√≠neas geod√©sicas

El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo

Aproximaci√≥n de dos geod√©sicas (en verde) en una superficie esf√©rica. Su vector de separaci√≥n őĺ (primero rosa, luego azul) va progresivamente contray√©ndose conforme nos acercamos al Polo Norte, siguiendo las pautas marcadas por el tensor de Riemann.

La medición de la curvatura de cualquier variedad (ya se trate del espacio-tiempo, de una esfera o de una silla de montar) viene determinada por el tensor de curvatura o tensor de Riemann, que es una función de los símbolos de Christoffel y sus derivadas de primer orden.

El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviaci√≥n de dos l√≠neas en origen paralelas cuando se desplazan a trav√©s de una superficie curva. Es bien sabido que en una variedad llana las l√≠neas paralelas jam√°s se cortan, pero sin embargo esta regla no rige en el caso de las superficies curvas de geometr√≠a el√≠ptica. Supongamos que dos viajeros salen del Ecuador en direcci√≥n norte. En ambos casos, el √°ngulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90¬ļ, por lo que se trata de dos l√≠neas paralelas. Sin embargo, conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte, su distancia rec√≠proca se hace cada vez m√°s peque√Īa hasta que se hace nula en el Polo Norte, que es donde se cortan sus trayectorias de viaje. Para calcular la tasa de aproximaci√≥n entre las dos geod√©sicas utilizamos la siguiente ecuaci√≥n:

d^2\xi^{\alpha} = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}dx^{\beta} \xi^{\mu} dx^{\nu}

donde \ dx^{\beta} y \ dx^{\mu} representan el recorrido desde el Ecuador de ambas líneas geodésicas y \ \xi^{\mu} la distancia de separación entre ellas.

Aceleración recíproca de dos líneas de universo geodésicas. Como vemos, conforme se avanza en la coordenada temporal, el tensor de Riemann curva las geodésicas y provoca el acercamiento recíproco de las dos partículas.

En el espacio-tiempo, que también es una variedad curva, las cosas funcionan de un modo parecido: el tensor de Riemann determina la aceleración recíproca entre las líneas de universo de dos sistemas inerciales (p.e. dos asteroides que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atracción gravitatoria). Para calcular dicha aceleración, aplicamos de nuevo la conocida fórmula, modificándola ligeramente:

\frac{d^2\xi^{\alpha}}{d\tau^2} = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\beta} \xi^{\mu} u^{\nu}

donde dŌĄ es un par√°metro af√≠n (el tiempo local) y uő≤ y uőľ son los vectores de cuadrivelocidad de ambos cuerpos que, seg√ļn el esquema de Minkowski, equivalen geom√©tricamente a campos vectoriales tangentes a ambas l√≠neas de universo.

Fuerzas de marea.

Todo esto nos conecta con lo que en f√≠sica newtoniana se denominan fuerzas de marea, responsables de m√ļltiples fen√≥menos astron√≥micos y cuya base teor√©tica reposa en el planteamiento siguiente: Supongamos que una determinada nave espacial est√° cayendo a un agujero negro. Es evidente que la proa de la nave experimenta una fuerza gravitatoria m√°s intensa que la popa, por el simple hecho de que la primera est√° m√°s pr√≥xima que la segunda al horizonte de sucesos. Si la diferencia de aceleraciones entre la proa y la popa es lo suficientemente intensa, la nave puede llegar a distorsionarse y quebrarse definitivamente.

El gradiente gravitatorio es también responsable del ciclo de mareas: Las zonas de la tierra más cercanas a la Luna, experimentan una mayor atracción gravitatoria que las más lejanas a ella, lo que provoca que el agua del mar se acumule en aquellas áreas de la superficie terrestre que están alineadas con la Luna.

En relatividad general, la aceleración de marea viene originada por el tensor de Riemann. Hay una correspondencia casi natural entre las ecuaciones newtonianas y las relativistas. En efecto, la ecuación newtoniana utilizada para computar las fuerzas de marea es la siguiente:

ai = ő¶,iiőĺi

donde a es la aceleraci√≥n de marea, ő¶ el potencial gravitatorio y őĺ la distancia entre las dos part√≠culas. Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio.

Desde el punto de vista relativista, las fuerzas de marea vienen determinadas por el tensor de Riemann y si la región del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribución uniforme de la curvatura, los componentes aquél toman aproximadamente los valores siguientes:

R^i_{0i0} \approx \Phi_{, ii}
R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} \approx 0 para el resto de los índices

De ahí que sea muy simple deducir la ecuación clásica partir de la relativista:

\frac{d^2\xi^{i}}{d\tau^2} = R^{i}_{0i0}u^{0} \xi^{i} u^{0} \to a^i = \Phi_{,ii}\xi^i

Como se puede deducir de los párrafos anteriores, en relatividad general las fuerzas de marea están determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los símbolos de Christoffel. Si estas magnitudes tienen un valor no nulo, el diferencial de los símbolos de Christoffel provoca la dispersión de las geodésicas correspondientes a partículas de un fluido determinado.

\ \partial \Gamma^\alpha_{\beta\mu} \not = 0
\ \frac{du^\alpha}{d\tau} = -\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}u^\mu u^\nu

Las geodésicas (trayectorias inerciales en el espacio-tiempo) vienen determinadas por los valores de los símbolos de Christoffel. Si éstos son constantes, las partículas de un fluido se mueven uniformemente, a una misma velocidad y aceleración, y no se altera su distancia entre sí. Pero si los componentes de los símbolos de Christoffel varían a lo largo de una determinada región, ello conlleva la divergencia de las líneas de universo y la distorsión del fluido, en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente.

En esta recreaci√≥n art√≠stica se reproducen el planeta y los dos cinturones de asteroides que orbitan alrededor de la estrella √Čpsilon Eridani.

Las fuerzas de marea y el tensor de Riemann tienen una importancia fundamental en la formaci√≥n y configuraci√≥n de los sistemas planetarios, as√≠ como en multitud de procesos astrof√≠sicos y cosmol√≥gicos. Sirva de ejemplo nuestro propio Sistema Solar: Hace cerca de 4.500 millones de a√Īos, una nube molecular alcanz√≥ la densidad y la compresi√≥n suficientes como para transformarse en un sistema planetario. La mayor parte del material de la nube se precipit√≥ sobre en torno al n√ļcleo, dando lugar al Sol. Sin embargo, ciertas cantidades de gas y de polvo continuaron rotando bajo la forma de un disco de acreci√≥n, y se aglutinaron para dar origen a planetesimales y posteriormente a planetas.

El sistema planetario de la estrella HD 69830 viene compuesto por un masivo cinturón de asteroides y por tres exoplanetas de masa neptuniana cuyos efectos gravitatorios dispersan las líneas de universo de los asteroides, impidiendo que se agreguen para formar nuevos planetas.

Sin embargo, en la zona situada entre Marte y J√ļpiter, los tensores de Riemann correspondientes a las masas del Sol y de J√ļpiter generaron unas intensas fuerzas de marea que dispersaron las l√≠neas de universo de los planetesimales all√≠ situados, impidiendo que se agregaran entre s√≠ para dar lugar a un cuerpo masivo. Los planetesimales permanecieran dispersos bajo la forma de un cintur√≥n de asteroides. Este fen√≥meno que acaba de describirse no es exclusivo de nuestro Sistema Solar, sino que ha sido observado en multitud de sistemas exoplanetarios descubiertos desde principios de los a√Īos noventa hasta la actualidad, como los mostrados en las ilustraciones de esta secci√≥n.

Las fuerzas de marea tambi√©n poseen cierta importancia en el desarrollo de otros fen√≥menos astron√≥micos como las supernovas de tipo II, deflagraciones c√≥smicas que suelen tener lugar en el marco de sistemas estelares dobles. En efecto, en los sitemas binarios es frecuente que una estrella masiva orbite alrededor de una enana blanca. Si el tama√Īo de la primera sobrepasa el l√≠mite de Roche, el tensor de Riemann R^{i}_{0i0} generado por la masa de la enana blanca extrae material de las capas exteriores de su compa√Īera y lo precipita sobre la enana blanca, en torno a la cual dicho material orbita formando un disco de acreci√≥n. El plasma queda sometido a enormes temperaturas que provocan la emisi√≥n de rayos X y la aparici√≥n de explosiones peri√≥dicas conocidas con el nombre de supernovas de tipo II.

El significado físico del tensor de Ricci

En la ilustración se reproducen los efectos del tensor de Ricci (concretamente su componente R00) sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. El autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia: Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal, el volumen de la esfera está definido por tres dimensiones espaciales.

Seg√ļn la teor√≠a de la gravitaci√≥n universal, una masa esf√©rica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracci√≥n rec√≠proca de sus mol√©culas) con una aceleraci√≥n equivalente a 4G\pi \rho\;:

\Delta V =4\pi G \rho\;

Es evidente, que dicha ecuaci√≥n no es compatible con la relatividad especial, por las razones rese√Īadas anteriormente:

  1. El parámetro \rho\,, que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión T^{\alpha \beta}\,, que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa.
  2. Por otro lado, seg√ļn la teor√≠a de la relatividad general, los efectos gravitatorios no son causados por ning√ļn tipo de "fuerza misteriosa" sino por la curvatura del espacio-tiempo.

En este sentido, cabe se√Īalar que en un espacio-tiempo curvo la aceleraci√≥n del volumen viene cuantificada por un objeto geom√©trico espec√≠fico, el tensor de Ricci R^{\alpha \beta}\,, que puede definirse como la aceleraci√≥n coordenada del hipervolumen ő†ő≤, normal al vector unitario e_\beta\,. De este modo, el componente R^{00}\, expresa la aceleraci√≥n temporal del volumen tridimensional:

\ R^{00} = \frac{d^2 \Pi_0}{d(x^0)^2}
\quad \Rightarrow \quad R^{00} = \nabla^2 V

La relación entre el tensor métrico y el tensor de Ricci se expresa a través de la llamada ecuación de flujo de Ricci, que tiene la forma siguiente:

\part_t g_{\alpha\beta} = -2R_{\alpha\beta}\,

Seg√ļn esta ecuaci√≥n, la existencia de valores positivos del tensor de Ricci implica la disminuci√≥n a lo largo del tiempo de los coeficientes del tensor m√©trico, y como consecuencia de ello la disminuci√≥n de los vol√ļmenes en esa regi√≥n de la variedad. Por el contrario, la presencia de valores negativos en el tensor de Ricci lleva consigo una expansi√≥n progresiva de las distancias, las superficies y los vol√ļmenes.

Por todo lo dicho, los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial y covariante la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

\ R^{\alpha\beta} = \frac{4\pi G}{c^2} T^{\alpha\beta}

En relatividad general, el tensor de Ricci tiene la particularidad de representar aquellos efectos gravitatorios originados por la presencia inmediata de cuadrimomento, que son con gran diferencia los m√°s importantes a gran escala.

El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofísicos que tienen lugar a amplias escalas: constituye una medida de la contracción de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversión en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansión del universo.

Del tensor de Ricci, particularmente de la forma que toma en los campos gravitatorios esféricos (como las estrellas estáticas),[7] se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostático, que regula el equilibrio entre la presión del fluido estelar[8] (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene prácticamente durante toda la vida de la estrella y sólo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella deviene en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presión de radiación[9] desbordan los del tensor de Ricci, y como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible. Se produce entonces un descenso en la presión del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtiéndose en un agujero negro.

Las ecuaciones de Universo de Einstein

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con la ley de la conservaci√≥n de la energ√≠a [Demostraci√≥n 1]. Esto constri√Ī√≥ a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicaci√≥n en 1915 del art√≠culo Aplicaci√≥n de la teor√≠a de la relatividad general al campo gravitatorio:[10]

R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\alpha \beta}

Donde R^{\alpha \beta}\, es el tensor de Ricci, g^{\alpha \beta}\, el tensor métrico, R\, el escalar de Ricci, G\, la constante de gravitación universal y T^{\alpha \beta}\, el tensor de energía-impulso. El miembro izquierdo de la ecuación recibe el nombre genérico de tensor de Einstein, se representa con la notación G^{\alpha \beta}\, y satisface las mismas relaciones de conservación que el tensor de tensión-energía:

\nabla_{\beta}G^{\alpha \beta} =
\nabla_{\beta} \left( R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R \right) = 0, \qquad \ G^{\alpha \beta} = kT^{\alpha \beta}

Teniendo en cuenta que el escalar de curvatura R es proporcional a la traza del tensor de Einstein G^\alpha_\alpha\,, las ecuaciones de universo de Einstein pueden reformularse de la manera siguiente:

\ -R = G^\alpha_\alpha = \frac{8\pi G}{c^4}T

\ R_{\alpha \beta} =
\frac{8\pi G}{c^4} \left( T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T \right)

Aplicación a fluido perfecto

Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia.

En un fluido no relativista,[11] como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energ√≠a-impulso son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento T_{00} = \rho c^2\,, que corresponde a la densidad de masa y que es el √ļnico que contribuye sensiblemente a la atracci√≥n gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Si deseamos medir la contracci√≥n de volumen producida por la masa-energ√≠a presente en una determinada regi√≥n, hemos de aplicar las ecuaciones de universo de Einstein:

\ R_{\alpha\beta} = \frac{8\pi G}{c^2} \left(T_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}T \right)

Si el observador está situado en reposo respecto al fluido en cuestión, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por dos vectores temporales de coordenadas (1,0,0,0)\,:

R_{00} = \frac{8\pi G}{c^2} \left(T_{00} - \frac{1}{2} g_{00}T \right)

Tras ello obtenemos:

\nabla^2 V = {8\pi G} \left(\rho - \frac{\rho c^2 - 3P}{2c^2} \right)
= 4\pi G \left(\rho + 3\frac{P}{c^2} \right)

Donde P\, es la presi√≥n del fluido, que en general es muy peque√Īa comparada con \rho c^2\,, por lo que tenemos es una ligera correcci√≥n de la anteriormente citada f√≥rmula newtoniana. Como vemos, la atracci√≥n gravitatoria viene determinada no s√≥lo por la masa-energ√≠a sino tambi√©n por la presi√≥n, aunque la contribuci√≥n de √©sta es c2 inferior a la de la primera. Por eso, en las regiones del espacio-tiempo sometidas a bajas presiones y temperaturas, como las nebulosas o nuestro Sistema Solar, la masa es pr√°cticamente la √ļnica fuente de atracci√≥n gravitatoria y por ello las ecuaciones de la gravitaci√≥n universal newtonianas constituyen una muy buena aproximaci√≥n de la realidad f√≠sica. En cambio, en fluidos sometidos a altas presiones, como las estrellas que se colapsan, la materia que se precipita en los agujeros negros o los chorros que son expelidos de los centros de las galaxias; en todos ellos la presi√≥n puede tener cierta importancia a la hora de computar la atracci√≥n gravitatoria y la curvatura del espacio-tiempo.

El tensor de Weyl

Es importante notar que, puesto en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene m√°s informaci√≥n que la curvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del de campo anteriores, con őõ = 0, no especifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo, el tensor de Ricci. La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con el tensor de Weyl. Eso significa que las ecuaciones de Einstein no especifican por completo el tensor de curvatura, ni la forma global del universo.

La constante cosmológica

Véase también: Constante cosmológica

Desde el principio Einstein apreció que matemáticamente el miembro derecho de su ecuación de campo podía incluir un término proporcional al tensor métrico sin que se violara el principio de conservación de la energía. Aunque inicialmente no incluyó dicho término, ya que no parecía tener una interpretación física razonable; más tarde lo incluyó. Esto se debió a que en sus primeros intentos de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones de campo consideró que lo que hoy conocemos como modelo estacionario de Einstein. Einstein apreció que esa solución, explicaba adecuadamente los datos disponibles en su tiempo, y correspondía a un universo estático similar a los datos observados. Sin embargo, dicha solución era inestable matemáticamente lo cual no parecía corresponderse con la estabilidad física observable, y se dio cuenta de que con el término proporcional a la métrica la solución podía ser similar pero esta vez estable.

Por esa raz√≥n Einstein introdujo en sus ecuaciones un t√©rmino proporcional al tensor m√©trico. Siendo la constante de proporcionalidad precisamente la constante cosmol√≥gica. El trabajo de varios cient√≠ficos (FLRW): Alexander Friedman, Georges Lema√ģtre, Howard Percy Robertson y Arthur Geoffrey Walker, prob√≥ que exist√≠an soluciones estables no estacionarios sin el t√©rmino proporcional a la constante cosmol√≥gica. Y aunque Einstein inicialmente hab√≠a rechazado el trabajo de Friedman por describir un universo en expansi√≥n que no parec√≠a ser descriptivamente adecuado a un universo que √©l cre√≠a estacionario, los datos del corrimiento al rojo del astr√≥nomo Edwin Hubble s√≥lo parec√≠an explicables mediante un modelo de universo en expansi√≥n. Esto convenci√≥ a Einstein de que la soluci√≥n FLRW era de hecho correcta y descriptivamente adecuada y por tanto la constante cosmol√≥gica innecesaria.

Recientemente la evidencia de la aceleración de la expansión del Universo han llevado a reintroducir la constante cosmológica diferente de cero como una de las posibles explicaciones del fenómeno.

Resumen

Significado físico de los diferentes tensores de la Relatividad general
Tensor Notación Significado físico
Derivada ordinaria \frac{du^\alpha}{d\tau} Aceleración medida por un observador externo en reposo
Derivada covariante \nabla_{\vec u} \vec u Aceleración inercial medida por un observador comóvil, situado en la propia línea de universo del cuerpo observado
Tensor métrico \ g_{\alpha\beta} Distancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio(-tiempo)
Tensor de tensión energía \ T_{\mu\nu} Presencia inmediata de cuadrimomento en una región del espacio-tiempo
Tensor de Riemann {R^\alpha}_{\beta\mu\nu} Aceleración recíproca de dos líneas de universo
Tensor de Ricci \ R_{\mu\nu} Aceleración de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones)
Escalar de Ricci \ R Aceleración de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen
Tensor de Weyl \ C^\alpha_{\beta\mu\nu} Fuerzas de marea generadas por las ondas gravitatorias
Principales ecuaciones de la relatividad general
Denominación Desarrollo Significado físico
Ecuaciones de universo de Einstein Contracción de un fluido como consecuencia de la presencia inmediata de cuadrimomento
Ecuación de las líneas geodésicas Movimiento de un sistema inercial en el espacio-tiempo
Desviación geodésica Fuerzas de marea entre dos partículas que caen en un mismo campo gravitatorio

Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein

Matem√°ticamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes. La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido, hicieron que durante mucho tiempo s√≥lo se contara con un pu√Īado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetr√≠a. En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein.

Históricamente la primera solución importante fue obtenida por Karl Schwarzschild en 1915, esta solución conocida posteriormente como métrica de Schwarzschild, representa el campo creado por un astro estático y con simetría esférica. Dicha solución constituye una muy buena aproximación al campo gravitatorio dentro del sistema solar, lo cual permitió someter a confirmación experimental la teoría general de la relatividad explicándose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio de Mercurio y prediciendo nuevos hechos más tarde observados como la deflexión de los rayos de luz de un campo gravitatorio. Además las peculiaridades de esta solución condujeron al descubrimiento teórico de la posibilidad de los agujeros negros, y se abrió todo una nueva área de la cosmología relacionada con ellos. Lamentablemente el estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la predicción de las singularidades espaciotemporales, deficiencia que revela que la teoría de la relatividad general es incompleta.

Algunas otras soluciones físicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son:

  • La m√©trica de Kerr que describe el campo gravitatorio de un astro en rotaci√≥n. Esta soluci√≥n bajo ciertas circunstancias tambi√©n contiene un agujero negro de Kerr.
  • La m√©trica de Friedman-Lema√ģtre-Robertson-Walker, realmente es un conjunto param√©trico de soluciones asociadas a la teor√≠a del Big Bang que es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansi√≥n del mismo.
  • El universo de G√∂del, que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro, pero cuyas propiedades matem√°ticamente interesante constituyeron un est√≠mulo para buscar soluciones m√°s generales de las ecuaciones para ver si ciertos fen√≥menos eran o no peculiares de las soluciones m√°s sencillos.

Por otra parte, el espacio-tiempo empleado en la teoría especial de la relatividad, llamado espacio de Minkowski es en sí mismo una solución de las ecuaciones de Einstein, que representa un espacio-tiempo vacío totalmente de materia.

Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teoría de campo gravitatorio también es interesante la aproximación para campos gravitatorios débiles y las soluciones en formadas de ondas gravitatorias.

No linealidad

Cuando Einstein formuló en 1915 las ecuaciones de universo de la Relatividad general, el científico alemán pensó, en un principio, que dichas ecuaciones eran insolubles debido a su carácter no lineal, que se manifestaba tanto desde un punto de vista físico como desde otro matemático:

  • En el plano estrictamente f√≠sico, la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein se deriva del mutuo condicionamiento entre el tetramomentum y la curvatura del espacio tiempo. As√≠, la densidad de masa, contenida en el coeficiente \ T^{00}, provoca una contracci√≥n (parametrizada a trav√©s de \ R^{00}) del volumen tridimensional que de nuevo vuelve a alterar el densidad de masa, y as√≠ sucesivamente. Este movimiento c√≠clico recuerda a la autoinductancia el electromagnetismo y no suele tener importancia en campos gravitatorios de baja intensidad, pero s√≠ ha de tenerse en cuenta en el c√°lculo de las perturbaciones gravitatorias originadas por una alta concentraci√≥n local de tetramomentum, como sucede en el caso de los agujeros negros o los fluidos relativistas. De una manera mas intuitiva la no linealidad de las ecuaciones de Einstein puede pensarse desde el punto de vista f√≠sico de la siguiente manera: Dada una distribuci√≥n de materia, esta producir√° una curvatura del espacio o "campo gravitatorio" el cual contiene energ√≠a. Dado que E=mc2 dicha energ√≠a a su vez generar√° otra curvatura o "campo gravitatorio" el cual a su vez contendr√° cierta energ√≠a y as√≠ sucesivamente. Esta retroalimentaci√≥n entre la fuente (materia) y el efecto (curvatura) est√° representada en el caracter no lineal de las ecuaciones de Einstein.
  • Desde un punto de vista matem√°tico, el miembro izquierdo de la igualdad R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta} = kT_{\alpha\beta} contiene tanto funciones lineales como derivadas de primer y de segundo orden del tensor m√©trico \ g_{\alpha\beta}, lo que hace imposible despejar los coeficientes de este √ļltimo a partir de los valores del tensor de energ√≠a momentum \ T_{\alpha\beta}. No es posible, pues, construir una funci√≥n de tipo f:T_{\alpha\beta} \to g_{\alpha\beta}.

Soluciones para coordenadas esféricas: Campo exterior

Artículo principal: Métrica de Schwarzschild

Para sorpresa de Albert Einstein, pocas semanas después de la publicación de sus ecuaciones de campo llegó a su despacho un correo de Karl Schwarzschild, un profesor universitario que en esos momentos se encontraba en el frente de la I guerra mundial, realizando trabajos de balística para las unidades de artillería del ejército alemán. En esa histórica carta se contenían las primeras soluciones exactas de las ecuaciones de la relatividad general, que serían conocidas por la posteridad con el nombre genérico de Solución de Schwarzschild.

El principio sobre el que pivotaba dicha solución era el siguiente: Dado que el Principio de la Covariancia General permitía hacer funcionar las ecuaciones de campo de la relatividad general en cualquier sistema de coordenadas, Schwarzschild procedió a calcular los valores de los tensores de energía-momento y de Einstein en coordenadas espacio-temporales esféricas \ (\theta,\phi,r,t). El alto grado de simetría proporcionado por dicho sistema de coordenadas, así como el carácter estático de la métrica, permitieron integrar directamente el conjunto de ecuaciones diferenciales. Siendo en el caso general el tensor métrico para un problema con simetría esférica de la forma:

(SE) ds^2 = -f(r)dt^2 + h(r)dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2d\phi^2)\,

Para el espacio la parte exterior de un astro esférica más concretamente se tenía:

f(r) = \frac{1}{h(r)} = \left(1 + \frac{2GM}{c^2 r} \right)

Las comprobaciones experimentaqles mostraron que la métrica de Schwarzschild describe con enorme precisión lo que sucede en sistemas esféricos estáticos, similares al sistema solar.

Soluciones para coordenadas esféricas: Equilibrio estelar

Artículo principal: Estructura estelar
La masa del Sol, as√≠ como su volumen y su temperatura se han mantenido estables durante millones de a√Īos.

Las ecuaciones de un campo con simetr√≠a esf√©rica (SE) permiten tambi√©n estudiar la curvatura en el interior de las estrellas masivas. El resultado de ese an√°lisis, es que para estrellas de la secuencia principal del diagrama de Hertzsprung-Russell, la curvatura originada por la gravedad es compensada por la presi√≥n de la materia estelar. Esa compensaci√≥n conduce a una ley de equilibrio hidrost√°tico que hace que la estrella, a√ļn sometida a su propio campo gravitatorio, pueda mantener durante millones de a√Īos su volumen y su densidad a niveles constantes. Matem√°ticamente, el hecho de que la m√©trica tenga un car√°cter est√°tico implica los valores del tensor \ T_{\alpha\beta} se mantengan estables en el tiempo. La ley de equilibrio hidrost√°tico que relaciona la densidad y la presi√≥n en una estrella esf√©rica viene dada por ecuaci√≥n de Tolman-Oppenheimer-Volkoff:

\frac{dP}{dr} = -G \left(\frac{P+\rho c^2}{r}\right) 
\left(\frac{mc^2+4\pi r^3P}{c^2r-2Gm}\right)

Donde:

P(r), \rho(r)\, son la presión y la densidad a una distancia r del centro del astro.
m(r) = \int_0^r \rho(\bar{r})\ 4\pi\bar{r}^2d\bar{r} es la masa encerrada en una esfera de radio r.

Soluciones para coordenadas esféricas: Colapso gravitatorio

La soluci√≥n de Schwarzschild permiti√≥ aplicar los postulados de la relatividad general a disciplinas como la mec√°nica celeste y la astrof√≠sica, lo cual supuso una verdadera revoluci√≥n en el estudio de la cosmolog√≠a: Apenas seis a√Īos despu√©s de la publicaci√≥n de los trabajos de Einstein, el f√≠sico ruso Aleksander Fridman introdujo el concepto de singularidad espacio-temporal, definido como un punto del espacio-tiempo en el que confluyen todas las geod√©sicas de las part√≠culas que hab√≠an atravesado el horizonte de sucesos de un agujero negro. En condiciones normales, la curvatura producida por la masa de los cuerpos y las part√≠culas es compensada por la temperatura o la presi√≥n del fluido y por fuerzas de tipo electromagn√©tico, cuyo estudio es objeto de la f√≠sica de fluidos y del estado s√≥lido. Sin embargo, cuando la materia alcanza cierta densidad, la presi√≥n de las mol√©culas no es capaz de compensar la intensa atracci√≥n gravitatoria. La curvatura del espacio-tiempo y la contracci√≥n del fluido aumentan cada vez a mayor velocidad: el final l√≥gico de este proceso es el surgimiento de una singularidad, un punto del espacio-tiempo donde la curvatura y la densidad de tetramomentum son infinitas.

Ahora bien, el f√≠sico Subrahmanyan Chandrasekhar fue el primero en darse cuenta que la gravedad pod√≠a ser contenida no s√≥lo por fuerzas de tipo mec√°nico, sino tambi√©n por un fen√≥meno de origen cu√°ntico al que llam√≥ presi√≥n de degeneraci√≥n, derivado del principio de exclusi√≥n de Pauli y que era capaz de sostener a estrellas cuya masa no superase el l√≠mite de Chandrasekhar. Estas ideas tan audaces le costaron caras a su autor, que fue ridiculizado en p√ļblico por Sir Arthur Eddington durante un congreso de astr√≥nomos. Sin embargo, los c√°lculos de Chandrasekhar se revelaron certeros, y sirvieron de base para la comprensi√≥n de un tipo estelar cuya naturaleza f√≠sica hasta entonces era desconocida: la enana blanca.

Aproximaciones en coordenadas armónicas

Dado que para muchos sistemas físicos no resulta sencillo obtener las expresiones exactas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein, los físicos teóricos han desarrollado aproximaciones bastante precisas empleando series de potencias. De entre ellas las más importantes funcionan en coordenadas armónicas y reciben los nombres de aproximación posnewtoniana y aproximación para campos gravitatorios débiles.

En virtud del principio de la covariancia general, ya examinado en secciones anteriores, es posible hacer funcionar a las ecuaciones de universo de Einstein en cualquier tipo de coordenadas, incluidas las armónicas, que son aquéllas en las que se cumple la relación \Gamma^{\lambda} = g_{\alpha\beta}\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta} = 0 (como, por ejemplo, en el caso de las coordenadas cartesianas). Se hace necesario en este punto distinguir con claridad entre los conceptos de planitud del espacio-tiempo y armonicidad de un sistema de coordenadas: en una espacio-tiempo de curvatura nula, como el espacio-tiempo de Minkowski, es posible utilizar coordenadas no-armónicas como las esféricas o las cilíndricas, sin que ello implique que el espacio se curve, ya que la curvatura es una cualidad instrínseca de cualquier variedad e independiente de nuestro sistema de referencia.

Ondas gravitatorias. La solución en el vacío de la aproximación para campos gravitatorios débiles (\nabla^2 h_{\alpha\beta} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 h_{\alpha\beta}}{\partial t^2}) tiene una estructura similar a la ecuación diferencial de ondas de d'Alembert, de lo que se deduce que las perturbaciones de la métrica tienen una naturaleza ondulatoria y se transmiten a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz.

Para campos gravitatorios poco intensos, como los existentes en el espacio interestelar, es recomendable utilizar la llamada aproximaci√≥n para campos d√©biles, que es, como veremos, muy similar en su estructura a la f√≥rmula de Poisson newtoniana, si bien las diferencias con esta √ļltima son enormes.

La f√≥rmula de Poisson afirma que el laplaciano del potencial gravitatorio ő¶ es igual 4GŌÄ:

\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t)}{r}dV

En la imagen se reproducen las ondas gravitatorias emitidas por una estrella durante su colapso.

Esta fórmula plantea un grave inconveniente, y es que presupone el principio de acción a distancia: No tiene en cuenta el retardo en la medición del campo gravitatorio realizada por un determinado observador (pongamos, un observador en la tierra) situado a cierta distancia a la masa del cuerpo que genera dicho campo gravitatorio (p.e. el Sol, situado a 8 minutos luz de nuestro planeta).

De ahí que uno de los primeros intentos de compatibilizar la teoría de la Relatividad Especial y la Gravitación Universal consistiera en sustituir el laplaciano de la fórmula de Poisson por un d'Alembertiano, una de cuyas soluciones es, precisamente, un potencial retardado:

\Box^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t-\frac{r}{c})}{r}dV

Como vemos, el potencial gravitatorio medido por el observador en el tiempo t, es proporcional a la densidad de masa que tiene el cuerpo estelar observado en el tiempo t - r/c, donde c es la velocidad de la luz, r es la distancia entre el observador y el objeto y r/c es el retardo, es decir, el tiempo que la luz tarda en desplazarse desde la estrella en cuestión hasta el observador.

Ahora bien, la relatividad general es una teoría métrica de la gravedad, y explica los fenómenos gravitatorios en términos de perturbaciones de la métrica. Es conveniente, por tanto, introducir en nuestra ecuación el pseudotensor \ h_{\alpha\beta}, que representa la desviación de los coeficientes del tensor métrico respecto a la métrica de Minkowski \ \eta_{\alpha\beta}. Aplicando el límite newtoniano, en cuya virtud \ g_{\alpha\beta} es igual a \ 1 + 2\Phi, obtenemos el resultado siguiente:

\ g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta} + h_{\alpha\beta}
h_{\alpha\beta} = 2\Phi \to \Box^2 h_{\alpha\beta} = 8\pi G\rho
\ \Box^2 h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)
Fórmula de Poisson  \ \nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho
Aproximación para campos débiles  \ \Box^2 h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)

A grandes rasgos, la sustitución del laplaciano \nabla^2 por el d'alembertiano \Box^2 viene exigida por la obligada eliminación del principio de acción a distancia; el empleo del pseudotensor \ h_{\alpha\beta} en lugar del potencial \ \Phi como elemento definitorio del campo gravitatorio es una consecuencia de la del carácter métrico de la teoría de la relatividad general; y finalmente, la eliminación, en el lado derecho de la ecuación, del parámetro \ \rho y su sustitución por la expresión tensorial T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T viene exigida por el principio de la covariancia general.

La aproximación posnewtoniana permite a los astrónomos calcular con suma precisión la posición y el movimiento de los planetas del Sistema Solar, teniendo en cuenta los efectos relativistas.

Sin embargo, en el an√°lisis de la evoluci√≥n de sistemas astron√≥micos como el solar o el formado por estrellas dobles o tripoles, la aproximaci√≥n para campos d√©biles no es √ļtil, ya que el uso de esta √ļltima se restringe a zonas del espacio-tiempo con poca densidad de tetramomentum. En estos casos es preferida la aproximaci√≥n posnewtoniana que como su propio nombre indica prescinde del empleo de la compleja notaci√≥n del c√°lculo tensorial y describe el movimiento de los cuerpos celestes utilizando los conceptos matem√°ticos que emple√≥ el propio Newton a la hora describir las leyes de la mec√°nica y de la gravitaci√≥n universal (vectores, gradientes, etc.).

En los siglos XVIII y XIX, astr√≥nomos como Laplace y Le Verrier hab√≠an aplicado los postulados de la mec√°nica newtoniana al estudio de la evoluci√≥n del Sistema Solar, obteniendo unos resultados muy fructuosos: La precisi√≥n de los c√°lculos astron√≥micos obtenidos hab√≠a permitido incluso prever la existencia de un planeta hasta entonces nunca observado por los astr√≥nomos, Neptuno. Por este motivo no es de extra√Īar que cuando la relatividad general obtuvo pleno reconocimiento, se desarrollase por parte de los astrof√≠sicos una aproximaci√≥n que siguiera en su estructura el modelo newtoniano y que fuese f√°cilmente aplicable tanto por los astr√≥nomos como por los ordenadores.

De acuerdo con la teoría clásica de la gravitación, la aceleración de un cuerpo en caída libre es el gradiente negativo del potencial gravitatorio:

a = -\nabla\phi

Como ya se ha avanzado en secciones anteriores, esta fórmula presupone la asunción del principio newtoniano de acción a distancia, contrario a los postulados de la Relatividad Especial, y además no tiene en cuenta los efectos gravitatorios generados por la energía y por el momentum. La aproximación posnewtoniana soslaya estos inconvenientes introduciendo otros dos nuevos potenciales: el potencial \ \psi, que constituye una aproximación en segundo grado del potencial \ \phi y el potencial \ \zeta, derivado de la presencia de momentum en el fluido.

Potenciales de la aproximación posnewtoniana
Notación Expresión Algebraica Significado físico
\ \phi \ \phi = -\int\frac{G\rho}{r}dV Potencial newtoniano (densidad de masa)
\ \psi \ \psi = [\frac{1}{4\pi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + G(E_k + E_p) + G(E_k)] Retardo del potencial newtoniano, densidad de energía
\ \zeta \ \zeta = -4G\int\frac{P}{r}dV Potencial derivado del momentum

Las ecuaciones de movimiento quedarían reformuladas de la siguiente forma:

a = -\nabla(\phi +\frac{2\phi^2}{c^2} +\psi) - \frac{1}{c}\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{v}{c} \times (\nabla \times \zeta) + \frac{3}{c^2}v\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{4}{c^2}v(v\cdot\nabla)\phi -\frac{v^2}{c^2}\nabla\phi
a = -\nabla\phi + \eta
\eta = -\nabla(\frac{2\phi^2}{c^2} +\psi) - \frac{1}{c}\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{v}{c} \times (\nabla \times \zeta) + \frac{3}{c^2}v\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{4}{c^2}v(v\cdot\nabla)\phi -\frac{v^2}{c^2}\nabla\phi

Soluciones relacionadas con los modelos de Universo

Existen un cierto n√ļmero de soluciones exactas de las ecuaciones que describen un universo completo y por tanto pueden ser consideradas modelos cosmol√≥gicos entre ellas destacan:

Predicciones de la relatividad general

La más famosa de las primeras verificaciones positivas de la teoría de la relatividad, ocurrió durante un eclipse solar de 1919, que se muestra en la imagen tomada por Sir Arthur Eddington de ese eclipse, que fue usada para confirmar que el campo gravitatorio del sol curvaba los rayos de luz de estrellas situadas tras él.

Se considera que la teoría de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observación de un eclipse total de Sol en 1919, realizada por Sir Arthur Eddington, en la que se ponía de manifiesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar, alterando la posición aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol. Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general. Entre algunas de las predicciones se encuentran:

Efectos gravitacionales

  • Desviaci√≥n gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: La frecuencia de la luz decrece al pasar por una regi√≥n de elevada gravedad. Confirmado por el experimento de Pound y Rebka (1959).
  • Dilataci√≥n gravitacional del tiempo: Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo m√°s lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes at√≥micos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en √≥rbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en ingl√©s). Tambi√©n, aunque se trata de intervalos de tiempo muy peque√Īos, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general.
  • Efecto Shapiro (dilataci√≥n gravitacional de desfases temporales): Diferentes se√Īales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo.
  • Decaimiento orbital debido a la emisi√≥n de radiaci√≥n gravitacional. Observado en p√ļlsares binarios.
  • Precesi√≥n geod√©sica: Debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientaci√≥n de un giroscopio en rotaci√≥n cambiar√° con el tiempo. Esto se comprob√≥ exitosamente en Mayo de 2011 por el sat√©lite Gravity Probe B.

Efectos rotatorios

Esto implica el comportamiento del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo rotante.

  • Fricci√≥n del marco de referencia. Un objeto en plena rotaci√≥n va a arrastrar consigo al espacio-tiempo, causando que la orientaci√≥n de un giroscopio cambie con el tiempo. Para una nave espacial en √≥rbita polar, la direcci√≥n de este efecto es perpendicular a la precisi√≥n geod√©sica.
  • El principio de equivalencia fuerte: incluso objetos que gravitan en torno a ellos mismos van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una part√≠cula de prueba lo har√≠a.

Otros efectos

  • Gravitones: De acuerdo con la teor√≠a cu√°ntica de campos, la radiaci√≥n gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones. La relatividad general predice que estos ser√°n part√≠culas de esp√≠n 2. Todav√≠a no han sido observados.

Comprobaciones

La teor√≠a de la relatividad general ha sido confirmada en numerosas formas desde su aparici√≥n. Por ejemplo, la teor√≠a predice que la l√≠nea del universo de un rayo de luz se curva en las proximidades de un objeto masivo como el Sol. La primera comprobaci√≥n emp√≠rica de la teor√≠a de la relatividad fue a este respecto. Durante los eclipses de 1919 y 1922 se organizaron expediciones cient√≠ficas para realizar esas observaciones. Despu√©s se compararon las posiciones aparentes de las estrellas con sus posiciones aparentes algunos meses m√°s tarde, cuando aparec√≠an de noche, lejos del Sol. Einstein predijo un desplazamiento aparente de la posici√≥n de 1,745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol, y desplazamientos cada vez menores de las estrellas m√°s distantes. Se demostr√≥ que sus c√°lculos sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio eran exactos. En los √ļltimos a√Īos se han llevado a cabo mediciones semejantes de la desviaci√≥n de ondas de radio procedentes de qu√°sares distantes, utilizando interfer√≥metros de radio. Las medidas arrojaron unos resultados que coincid√≠an con una precisi√≥n del 1% con los valores predichos por la relatividad general.

Otra confirmaci√≥n de la relatividad general est√° relacionada con el perihelio del planeta Mercurio. Hac√≠a a√Īos que se sab√≠a que el perihelio (el punto en que Mercurio se encuentra m√°s pr√≥ximo al Sol) gira en torno al Sol una vez cada tres millones de a√Īos, y ese movimiento no pod√≠a explicarse totalmente con las teor√≠as cl√°sicas. En cambio, la teor√≠a de la relatividad s√≠ predice todos los aspectos del movimiento, y las medidas con radar efectuadas recientemente han confirmado la coincidencia de los datos reales con la teor√≠a con una precisi√≥n de un 0,5%.

Se han realizado otras muchas comprobaciones de la teoría, y hasta ahora todas parecen confirmarla. Prácticamente con la más reciente prueba del satélite Gravity Probe B, se podría considerar a la teoría como una ley.

Relación con otras teorías físicas

En esta parte, la mec√°nica cl√°sica y la relatividad especial est√°n entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad especial y la mec√°nica cu√°ntica.

Sujeto al principio de acoplamiento m√≠nimo, las ecuaciones f√≠sicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la m√©trica de Minkowski (ő∑ab) con la relevante m√©trica del espacio-tiempo (gab) y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes.

Inercia

Tanto en mecánica cuántica como en relatividad se asumía que el espacio, y más tarde el espacio-tiempo, eran planos. En el lenguaje de cálculo tensorial, esto significaba que Rabcd = 0, donde Rabcd es el tensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, se asumía que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas. Estas restricciones le permitían al movimiento inercial ser descrito matemáticamente como:

\ddot{x}^a = 0, donde

Hay que notar que en la mec√°nica cl√°sica, xa es tridimensional y ŌĄ ‚Č° t, donde t es una coordenada de tiempo.

En la relatividad general, si estas restricciones son usadas en la forma de espacio-tiempo y en el sistema de coordenadas, √©stas se perder√°n. √Čsta fue la principal raz√≥n por la cual se necesit√≥ una definici√≥n diferente de movimiento inercial. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski como parametrizada por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matem√°ticamente mediante la ecuaci√≥n de las geod√©sicas:

\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \,\dot{x}^c  = 0, donde

Como x es un tensor de rango uno, estas ecuaciones son cuatro y cada una está describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. (En la métrica de Minkowski de la relatividad especial, los valores de conexión son todos ceros. Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodésicas de la relatividad general en \ddot{x}^a = 0 para el espacio plano de la relatividad especial).

Gravitación

En gravitación, la relación entre la teoría de la gravedad de Newton y la relatividad general son gobernadas por el principio de correspondencia: la relatividad general tiene que producir los mismos resultados, así como la gravedad lo hace en los casos donde la física newtoniana ha demostrado ser certera.

Alrededor de objetos simétricamente esféricos, la teoría de la gravedad de Newton predice que los otros objetos serán acelerados hacia el centro por la ley:

\mathbf{F} = -\frac{GM}{r^2}\mathbf{\hat{r}}

Donde:

M\,, es la masa del objeto atraído,
r\,, es la distancia al objeto atraído, y
\mathbf{\hat{r}} es un vector de unidad identificando la dirección al objeto masivo.

En la aproximación de campo débil de la relatividad general tiene que existir una aceleración en coordenadas idénticas. En la solución de Schwarzschild, la misma aceleración de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integración es igual a 2m (donde m = GM/c2).

Electromagnetismo

El electromagnetismo plante√≥ un obst√°culo fundamental para la mec√°nica cl√°sica, debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes seg√ļn la relatividad galileana. Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial. En forma tensorial, las ecuaciones de Maxwell son:

\partial_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}, y
\partial^{a}\,F^{\,bc} + \partial^{b} \, F^{\,ca} + \partial^{c} \, F^{\,ab} = 0

Donde:

F_{ab}\,, es el tensor de campo electromagnético, y
J_a\,, es una cuadricorriente.

El efecto de un campo electromagnético en un objeto cargado de masa m es entonces:

\frac{dP^a}{d\tau} = \frac{q}{m}P_bF^{ab}

Donde

P^a\, es el cuadrimomento del objeto cargado.

En la relatividad general, las ecuaciones de Maxwell se convierten en

\nabla_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b} and
\nabla^a\,F^{\,bc} + \nabla^b \, F^{\,ca} + \nabla^c \, F^{\,ab} = 0.

La ecuación para el efecto del campo electromagnético sigue siendo la misma, aunque el cambio de métrica modificará sus resultados. Notesé que al integrar esta ecuación para cargas aceleradas las hipótesis habituales no son válidas (ya que implican que una carga sujeta en un campo gravitato debe comportarse como si estuviera uniformemente acelerada, lo que muestra que una carga uniformemente acelerada no puede radiar).

Conservación de energía-momentum

En la mecánica clásica, la conservación de la energía y el momentum son manejados separadamente. En la relatividad especial, la energía y el momentum están unidos en el cuadrimomento y los tensores de energía. Para cualquier interacción física, el tensor de energía-impulso {T_a}^b satisface la ley local de conservación siguiente:

\partial_b \, {T_a}^b = 0

En la relatividad general, esta relación es modificada para justificar la curvatura, convirtiéndose en:

\nabla_b \, {T_a}^b = \partial_b \, {T_a}^b + {\Gamma^b}_{cb} \, {T_a}^c + {\Gamma^c}_{ab} \, {T_c}^b = 0

donde ‚ąá representa aqu√≠ la derivada covariante.

A diferencia de la mecánica clásica y la relatividad especial, en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energía total y el momentum. Esto a menudo causa confusión en espacio-tiempos dependientes del tiempo, en los que no existen vectores de Killing temporales, los cuales no parecen conservar energía, aunque la ley local siempre se satisfaga (Ver energía de Arnowitt, Deser y Misner).

Transición de la relatividad especial a la relatividad general

La teoría de la relatividad especial presenta covariancia de Lorentz esto significa que tal como fue formulada las leyes de la física se escriben del mismo modo para dos observadores que sean inerciales. Einstein estimó, inspirado por el principio de equivalencia que era necesaria una teoría que presentara una para la que valiera un principio de covariancia generalizado, es decir, en que las leyes de la física se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no, eso le llevó a buscar una teoría general de la relatividad. Además el hecho de que la propia teoría de la relatividad fuera incompatible con el principio de acción a distancia le hizo comprender que necesitaba además que esta teoría general incorporase una descripción adecuada del campo gravitatorio.

Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teoría de la relatividad sólo era aplicable a sistemas de referencia inerciales estrictamente, aunque Logunov ha probado en el marco de la teoría relativista de la gravitación que de hecho fijado un observador inercial o no, cualquier otro que se mueva con velocidad uniforme respecto al primero escribirá las leyes físicas de la misma forma. Probando así que la relatividad especial de hecho es más general de lo que Einstein creyó en su momento. Además el trabajo de Logunov prueba que siempre que el espacio-tiempo sea plano puede establecerse para cada observador existe un grupo decaparamétrico de transformaciones de coordenadas que generaliza las propiedades del grupo de Lorentz para observadores no inerciales.

El principio de geometrizaci√≥n y el principio de equivalencia fueron las piedras angulares en las que Einstein bas√≥ su b√ļsqueda de una nueva teor√≠a, tras haber fracasado en el intento de formular una teor√≠a relativista de la gravitaci√≥n a partir de un potencial gravitatorio. La teor√≠a escalar de la gravitaci√≥n de Nordstr√∂m[12] y la interpretaci√≥n geom√©trica que extrajo de ella Adriaan Fokker (1914), el estudiante de doctorado de Hendrik Lorentz, llevaron a Einstein a poder relacionar el tensor de energ√≠a-impulso con la curvatura escalar de Ricci de un espacio-tiempo con m√©trica:

g_{\alpha \beta} = \phi\eta_{\alpha\beta}\,

que involucraba la métrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar relacionado con el campo gravitatorio. La superación de las deficiencias de la teoría de la gravitación escalar de Nordström llevaron a Einstein a formular las ecuaciones correctas de campo.

Véase también

Referencias

  1. ‚ÜĎ En alem√°n: "√úber den Einflu√ü der Schwerkfraft auf die Ausbreitung des Lichtes"
  2. ‚ÜĎ Ello como consecuencia de la f√≥rmula de Planck, que supone que cuanto m√°s energ√©ticos sean los fotones, m√°s alta es su frecuencia.
  3. ‚ÜĎ Escogemos un sistema de coordenadas esf√©rico, compuesto de tres grados de libertad: Latitud őł, longitudŌē y distancia respecto al centro r. Los componentes őł y Ōē de la aceleraci√≥n son iguales a cero. La aceleraci√≥n gravitatoria tiene lugar exclusivamente en direcci√≥n al centro de la Tierra.
  4. ‚ÜĎ Ambas notaciones son alternativas.
  5. ‚ÜĎ La gravitaci√≥n universal newtoniana establece que la fuerza (y por lo tanto la aceleraci√≥n radial) de atracci√≥n ejercida por el Sol sobre la tierra es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ambos cuerpos celestes
  6. ‚ÜĎ La tercera ley de Kepler afirma que los planetas barren √°reas iguales en tiempos iguales. Para que esta ley mantenga su validez en toda la trayectoria orbital terrestre es necesario que la aceleraci√≥n angular sea m√°xima en las regiones pr√≥ximas al perihelio, de tal manera que se compense con ello las menores dimensiones del radio.
  7. ‚ÜĎ M√°s adelante analizaremos con profundidad este tema en el cap√≠tulo dedicado a la m√©trica de Schwarzschild.
  8. ‚ÜĎ En las estrellas de la secuencia principal, la presi√≥n viene integrada por dos elementos diferentes: La presi√≥n molecular, que es causada por la energ√≠a cin√©tica de los √°tomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por la ecuaci√≥n de Boltzmann mv2 / 2 > = 3kT / 2, y la presi√≥n de radiaci√≥n, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presi√≥n tienden a compensarse en virtud de un proceso f√≠sico denominado Bremsstrahlung (radiaci√≥n de freno). De este modo, los fotones, que en el n√ļcleo del √°tomo son generados con niveles de energ√≠a correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible.
  9. ‚ÜĎ Dichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no s√≥lo en su n√ļcleo
  10. ‚ÜĎ En alem√°n: "Anwendung der allgemeinen Relativit√§tstheorie auf das Gravitationsfeld"
  11. ‚ÜĎ La relatividad general distingue entre fluidos relativistas, que viajan a velocidades cercanas a la de la luz, y no relativistas, que lo hacen a velocidades relativamente bajas. Al respecto, l√©ase Teor√≠a de la Relatividad.
  12. ‚ÜĎ Ver por ejemplo, Nordstr√∂m's theory of gravitation

Bibliografía

  • Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. 
  • Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
  • Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
  • Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.

Enlaces externos


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