Redes de Bravais

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Redes de Bravais

Redes de Bravais

En geometría y cristalografía las Redes de Bravais son una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo traslaciones. En la mayoría de casos también se da una invariancia bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas propiedades hacen que desde todos los nodos de una red de Bravais se tenga la misma perspectiva de la red. Se dice entonces que los puntos de una red de Bravais son equivalentes.

Mediante teor√≠a de grupos se ha demostrado que solo existe una √ļnica red de bravais unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales.

La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí. En dos o tres dimensiones las cosas se complican más y la variabilidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrón para trabajar cómodamente con las redes.

Para generar estas normalmente se usa el concepto de celda primitiva. Las celdas unitarias, son paralelogramos (2D) o paralelepípedos (3D) que constituyen la menor subdivisión de una red cristalina que conserva las características generales de toda la retícula, de modo que por simple traslación de la misma, puede reconstruirse la red al completo en cualquier punto.

Una red típica R en  \mathbb{R}^n tiene la forma:


R = \left\{ \sum_{i=1}^n \nu_i \vec a_i \; | \; \nu_i \in\Bbb{Z} \right\}

donde {a1,..., an} es una base en el espacio Rn. Puede haber diferentes bases que generen la misma red pero el valor absoluto del determinante de los vectores ai vendr√° siempre determinado por la red por lo que se lo puede representar como d(R).

Contenido

Características de las celdas unitarias y las celdas convencionales

Las celdas unitarias se pueden definir de forma muy simple a partir de dos (2D) o tres vectores (3D). La construcci√≥n de la celda se realiza trazando las paralelas de estos vectores desde sus extremos hasta el punto en el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria que se construye de un modo distinto y que presenta ciertas ventajas en la visualizaci√≥n de la red ya que posee la misma simetr√≠a que la red, es la celda de Wigner-Seitz. Una celda unitaria se caracteriza principalmente por contener un √ļnico nodo de la red de ah√≠ el adjetivo de "unitaria". Si bien en muchos casos existen distintas formas para las celdas unitarias de una determinada red el volumen de toda celda unitaria es siempre el mismo.

En ocasiones resulta m√°s sencillo construir otro tipo de celdas que sin ser unitarias describen mejor la estructura de la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominan celdas convencionales. √Čstas tienen, a su vez, sus propios par√°metros de red y un volumen determinado. Todas estas celdas se consideran celdas primitivas ya que son capaces de cubrir todo el espacio mediante traslaciones sin que queden huecos ni solapamientos. Sus diferencias o caracter√≠sticas son las siguientes:


Empaquetamiento compacto: Esto es cuando los átomos de la celda están en contacto unos con otros. No siempre será así y en muchos casos mediará una distancia mínima entre las nubes electrónicas de los diferentes átomos.

Par√°metro de red: Es la longitud de los lados de la celda unitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres par√°metros de red distintos dependiendo del tipo de red de bravais que tratemos. En las estructuras m√°s comunes se representa con la letra a y con la c en caso de haber dos.

Nodos o √°tomos por celda: Tal y como dice el nombre es el n√ļmero de nodos o √°tomos que posee cada celda. Una celda cuadrada, por ejemplo, poseer√° un nodo por celda ya que cada esquina la comparte con cuatro celdas m√°s. De hecho si una celda posee m√°s de un nodo de red es que no es unitaria, en cambio si posee m√°s de un √°tomo por celda pudiera ser que estuvi√©semos en una celda unitaria pero con una base at√≥mica de m√°s de un √°tomo.

N√ļmero de coordinaci√≥n: Es el n√ļmero de puntos de la red m√°s cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de la red. Si se trata de una estructura con empaquetamiento compacto el n√ļmero de coordinaci√≥n ser√° el n√ļmero de √°tomos en contacto con otro. El m√°ximo es 12.

Factor de empaquetamiento: Fracción del espacio de la celda unitaria ocupada por los átomos, suponiendo que éstos son esferas sólidas.

f = \frac{n \cdot v}{V_c}

Donde f es el factor de empaquetamiento o fracci√≥n de volumen ocupado, n el n√ļmero de √°tomos por celda, v el volumen del √°tomo y Vc el volumen de la celda. Normalmente se suele dar el factor de empaquetamiento compacto para las diferentes celdas como indicador de la densidad de √°tomos que posee cada estructura cristalina. En este caso los √°tomos se tratan como esferas r√≠gidas en contacto con sus vecinos m√°s cercanos.

Densidad: A partir de las características de la red, puede obtenerse la densidad teórica del material que conforma la red mediante la siguiente expresión.

 \rho = \frac{n \cdot m}{N_A \cdot V_c}

Donde ŌĀ es la densidad, NA el n√ļmero de Avogadro y m la masa at√≥mica.

Volumen de la celda unitaria primitiva: Toda celda unitaria tiene el mismo volumen representado por la siguiente fórmula.  v_{cup} = \vec a_1 (\vec a_2 \times \vec a_3 ) Donde a son los vectores de la base de la red.

Redes bidimensionales

Seg√ļn los √°ngulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas.

Redes bidimensionales.png

Redes tridimensionales

Cristal de sulfato de cobre. Se aprecia que el cristal no crece uniformemente sino que existen planos que han crecido con mayor rapidez.

En función de los parámetros de la celda unitaria, longitudes de sus lados y ángulos que forman, se distinguen 7 sistemas cristalinos.

Ahora bien, para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un sólido, además de definir la forma geométrica de la red, es necesario establecer las posiciones en la celda de los átomos o moléculas que forman el sólido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes:

  • P: Celda primitiva o simple en la que los puntos reticulares son s√≥lo los v√©rtices del paralelep√≠pedo.
  • F: Celda centrada en las caras, que tiene puntos reticulares en las caras, adem√°s de en los v√©rtices. Si s√≥lo tienen puntos reticulares en las bases, se designan con las letras A, B o C seg√ļn sean las caras que tienen los dos puntos reticulares.
  • I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un punto reticular en el centro de la celda, adem√°s de los v√©rtices.
  • C: Primitiva con ejes iguales y √°ngulos iguales √≥ hexagonal doblemente centrada en el cuerpo, adem√°s de los v√©rtices.

Combinando los 7 sistemas cristalinos con las disposiciones de los puntos de red mencionados, se obtendrían 28 redes cristalinas posibles. En realidad, como puede demostrarse, sólo existen 14 configuraciones básicas, pudiéndose el resto obtener a partir de ellas. Estas estructuras se denominan redes de Bravais.


Sistema cristalino Redes de Bravais
triclínico P
Triclínica
monoclínico P C
Monoclínica, simple Monoclínica, centrada
ortorómbico P C I F
Ortorómbico, simple Ortorómbico, centrado en la base Ortorómbico, centrado en el cuerpo Ortorómbico, centrado en las caras
tetragonal P I
Tetragonal, simple Tetragonal, centrada en el cuerpo
romboédrico
(trigonal)
P
Romboédrica
hexagonal P
Hexagonal
c√ļbico
P I F
C√ļbica, simple C√ļbica, centrada en el cuerpo C√ļbica, centrada en las caras


Base atómica

Estructura hexagonal compacta.png

En el caso más sencillo, a cada punto de red le corresponderá un átomo, pero en estructuras más complicadas, como materiales cerámicos y compuestos, cientos de átomos pueden estar asociados a cada punto de red formando celdas unitarias extremadamente complejas. La distribución de estos átomos o moléculas adicionales se denomina base atómica y esta nos da su distribución dentro de la celda unitaria.

Existen dos casos típicos de bases atómicas. La estructura del diamante y la hexagonal compacta. Para redes bidimensionales un caso ejemplar sería el grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal.

Estructura a (r) N√ļmero de
coordinación
Factor de
empaquetamiento
Ejemplos
C√ļbica simple (CS) a = 2r
6
0,52
---
C√ļbica centrada en el cuerpo (CCI) a = 4r/‚ąö3
8
0,68
Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr, Zr
C√ļbica centrada en las caras (CCC) a = 4r/‚ąö2
12
0,74
Cu, Al, Au, Ag, Pb, Ni, Pt
Hexagonal compacta (HC) a = 2r
c/a = 1,633 a
12
0,74
Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd


A pesar de la existencia de la nomenclatura espa√Īola, la inglesa est√° mucho m√°s extendida. Los acr√≥nimos ingleses son los siguientes.

sc: c√ļbica simple
bcc: c√ļbica centrada en el cuerpo
fcc: c√ļbica centrada en las caras
hc: hexagonal compacta

Véase también

Enlaces externos

Obtenido de "Redes de Bravais"

Wikimedia foundation. 2010.

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