Extensión de cuerpo


Extensión de cuerpo

Extensión de cuerpo

En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y "funcionan bien". Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Contenido

Definición.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K...

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, (L, + ) es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares \cdot: K \times L \longrightarrow L como una restricción a K \times L del producto en \cdot: L \times L \longrightarrow. De esta forma es inmediato que se cumple que:

  • a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta),
  • (a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha),
  • (a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha,
  • 1 \cdot \alpha = \alpha,

cualesquiera que sean a,b \in K y \alpha,\beta \in L. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en L y a que K \subset L, la tercera se debe a que el producto es asociativo en L, y la cuarta se debe a que K es subcuerpo de L, por lo que el elemento unidad de L es el elemento unidad de K.

Extensión simple.

Artículo principal: Extensión simple

El conjunto K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de K, es subcuerpo de L, y de hecho es la menor extensión de K que contiene a α. Se le denomina extensión generada por α sobre K.

Extensiones algebraicas y trascendentes.

Teorema de Kronecker.

Sea K un cuerpo y p \in K[x] un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión L:K de manera que p tiene alguna raíz en L.

Homomorfismo evaluación.

La aplicación \beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha) que a cada polinomio p(x) \in K[x] le hace corresponder su evaluación en α, i.e., β(p) = p(α). Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica.

Artículo principal: Extensión algebraica

Una extensión L:K se dice que es algebraica si todo elemento \alpha \in L es algebraico sobre K.

Elementos algebraicos.

Artículo principal: Elemento algebraico

Supongamos que existe algún polinomio p \in K[x] que tiene a α por raíz.

En esta situación (Ker(\beta) \neq \{0\}, o equivalentemente, existe algún p \in K[x] irreducible con \frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)) se dice que α es algebraico sobre K.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible.

Si α es un elemento algebraico sobre el cuerpo K de manera que \alpha \notin K, el polinomio p que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., Kerβ = (p)) es irreducible. Dividiendo p por su coeficiente principal (aquél escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable x) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por m_{\alpha}^K y se denomina polinomio mónico irreducible de α respecto de K.

Claramente, K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}.

Extensión trascendente.

Artículo principal: Extensión transcendente

Una extensión L:K se dice que es trascendente si existe algún elemento \alpha \in L que sea trascendente sobre K.

Elementos trascendentes.

Artículo principal: Elemento trascendente

Si el Ker(β) = {0}, será β un monomorfismo. En ese caso, K(x) es isomorfo a K(α).


Se dirá que el elemento α es trascendente sobre K y que K(α) es una extensión trascendente sobre K. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en K que tenga por raíz a α (es decir, si p \in K[x], entonces p(\alpha) \neq 0).

Grado de una extensión

Artículo principal: Grado de una extensión

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de L como espacio vectorial sobre K, denotado por dimK(L). Se denomina grado de la extensión L:K a la dimensión de L como K-espacio vectorial: [L:K] = dimK(L).




Tomemos varios ejemplos:

K = Q el cuerpo de los racionales y L = R el de los reales; Las raíces de los enteros primos (√2, √3, √5, √7,...) son linealmente independientes sobre Q, lo que implica que R visto como espacio vectorial sobre Q, es de dimensión infinita.
Otro modo de obtener este resultado es considerar los números e, e²,e³... donde el número e es la base de los logaritmos neperianos. Como e es trascendental, no existe ningún polinomio no nulo P tal que P(e) = 0, lo que significa que 1,e, e², e³ ... son linealmente independientes. De aquí la dimensión infinita.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de R sobre Q fuese finita, R sería isomorfo a Qn, lo que no es posible porque el cardenal de Qn es el mismo que él de Q (igual al de N, aleph0) que es estrictamente inferior al de R.

K = Q, el cuerpo de los racionales y L = Q(√2), el menor cuerpo que contiene a la vez Q y √2. L es también el conjunto de los P(√2), donde P es cualquier polinomio con coeficientes en Q.
Reagrupando los monomios de potencias pares por una parte, e impares por otra, de P(√2), se ve que los elementos de Q(√2) son los números de la forma a+b√2, con a y b racionales. Por lo tanto (1, √2) es una base de L visto como espacio vectorial sobre K, lo que significa que su dimensión es 2.
Hay que relacionar esta dimensión al hecho que √2 es raíz de un polinomio de segundo grado.

Se puede generalizar:

Si α es una raíz de un polinomio irreductible (sobre Q) de grado n, entonces Q(α) es una extensión de dimensión n sobre Q.

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Wikimedia foundation. 2010.

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