Fractal

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Fractal
En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en esta romanescu.

Un fractal es un objeto semigeom√©trico cuya estructura b√°sica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El t√©rmino fue propuesto por el matem√°tico Beno√ģt Mandelbrot en 1975 y deriva del Lat√≠n fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2]

  • Es demasiado irregular para ser descrito en t√©rminos geom√©tricos tradicionales.
  • Es autosimilar.- Su forma es hecha de copias m√°s peque√Īas de la misma figura. Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tama√Īo. Ejemplos de autosimilaridad:
  • Fractales naturalistas
  • Set de Mandelbrot.- Es una transformaci√≥n no-linear
  • Fractales de paisajes.- Este tipo de fractales pueden producir paisajes real√≠sticos convincentes.
  • Fractales naturales.- Los fractales encontrados en la naturaleza se diferenc√≠an de los fractales matem√°ticos porque los naturales son aproximados o estad√≠sticos y su autosimiliralidad se extiende s√≥lo a un rango de escalas.
  • Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.

No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometr√≠a fractal. Las nubes, las monta√Īas, el sistema circulatorio, las l√≠neas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representaci√≥n es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen l√≠mites en el mundo natural.

Contenido

Introducción

La definici√≥n de fractal en los a√Īos 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atr√°s:

Los ejemplos cl√°sicos

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareci√≥ la funci√≥n de Weierstrass, cuyo grafo hoy en d√≠a considerar√≠amos fractal, como ejemplo de funci√≥n continua pero no diferenciable en ning√ļn punto.

sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definici√≥n m√°s geom√©trica. Dichos ejemplos pod√≠an construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geom√©tricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura l√≠mite que correspond√≠a al que hoy llamamos conjunto fractal. As√≠, en 1904, Helge von Koch defini√≥ una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construy√≥ su tri√°ngulo y, un a√Īo despu√©s, su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Menger 0.PNG Menger 1.PNG Menger 2.PNG Menger 3.PNG Menger 4.PNG
Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.[4]

En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de Julia

En negro, imagen del Conjunto de Mandelbrot superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los a√Īos 1920, surgen como resultado de la aplicaci√≥n reiterada de funciones holomorfas z \mapsto f(z) \mapsto f(f(z)) \mapsto \ldots.

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a \infty. Al conjunto de valores de z \in C que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea seg√ļn el n√ļmero de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un n√ļmero grande y prefijado de iteraciones.

Ejemplos de conjuntos de Julia para fc(z) = z2 + c

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot

La familia de conjuntos de Julia {fc}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma fc(z) = z2 + c presenta conjuntos de una variedad sorprendente.

Dicha familia tendr√° especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales, popularizado en los a√Īos 1980. llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del par√°metro c \in \mathbb{C}, se colorea de modo que refleje una propiedad b√°sica del conjunto de Julia asociado a fc. En concreto, c \in M si el conjunto de Julia asociado a fc es conexo.

Características de un fractal

Autosimilitud

Seg√ļn B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

  • Autosimilitud exacta. este es el tipo m√°s restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca id√©ntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con peque√Īas diferencias.
  • Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente id√©ntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de s√≠ mismos. Matem√°ticamente D.Sullivan defini√≥ el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometr√≠a. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
  • Autosimilitud estad√≠stica. Es el tipo m√°s d√©bil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas num√©ricas o estad√≠sticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensi√≥n topol√≥gica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podr√≠amos preguntarnos c√≥mo densamente un conjunto ocupa el espacio m√©trico que lo contiene. Los n√ļmeros que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

  • La dimensi√≥n fractal. Las f√≥rmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadr√≠cula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensi√≥n fractal de objetos reales: l√≠neas de la costa (1.2), nubes, √°rboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matem√°ticos.
  • La dimensi√≥n de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definici√≥n m√°s compleja que la de dimensi√≥n fractal. Su definici√≥n no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.
Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación por difusión limitada.

Definición por algoritmos recursivos

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

Aspectos matem√°ticos

Intentos de definición rigurosa

El concepto de fractal no dispone en el a√Īo 2008 de una definici√≥n matem√°tica precisa y de aceptaci√≥n general. Intentos parciales de dar una definici√≥n fueron realizados por:

  • B. Mandelbrot, que en 1982 defini√≥ fractal como un conjunto cuya dimensi√≥n de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensi√≥n topol√≥gica. √Čl mismo reconoci√≥ que su definici√≥n no era lo suficientemente general.
  • D. Sullivan, que defini√≥ matem√°ticamente una de las categor√≠as de fractales con su definici√≥n de conjunto cuasiautosimilar que hac√≠a uso del concepto de cuasi-isometr√≠a.

Dimensión fractal

Artículo principal: Dimensión fractal

Puede definirse en t√©rminos del m√≠nimo n√ļmero N(\epsilon) de bolas de radio \epsilon necesarias para recubrir el conjunto, como el l√≠mite:

D_F=\lim_{\epsilon \to 0}{ \ln N(\epsilon) \over \ln(1/\epsilon)}

O en funci√≥n del recuento del n√ļmero de cajas Nn de una cuadr√≠cula de anchura 1 / 2n que intersecan al conjunto:

D_F=\lim_{n \to \infty}{ \ln N_n \over \ln(2^n)}

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.[6]

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

De una definici√≥n m√°s compleja, la dimensi√≥n de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un n√ļmero DH(A), tambi√©n invariante bajo isometr√≠as, cuya relaci√≥n con la dimensi√≥n fractal DF(A) es la siguiente:

0 \leq D_H(A) \leq D_F(A)

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

Dimensión de fractales producidos por un IFS

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que DF = DH y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

c_1^D+c_2^D+ \dots + c_k^D=1

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

Aplicaciones

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes

Fractal fern explained.png

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas im√°genes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente peque√Īos gatitos distorsionados sobre s√≠ mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin cre√≥ el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en √©l se subdivide la imagen mediante una partici√≥n y para cada regi√≥n resultante se busca otra regi√≥n similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.[7]

El esquema resultante es un sistema de compresi√≥n con p√©rdidas, de tiempo asim√©trico. Lamentablemente a√ļn se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificaci√≥n es muy r√°pida. La compresi√≥n, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresi√≥n JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro sistema.

Modelado de formas naturales

Fracción de un fractal Mandelbrot.

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, est√°n presentes en la materia biol√≥gica, junto con las simetr√≠as (las formas b√°sicas que solo necesitan la mitad de informaci√≥n gen√©tica) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma b√°sica hacia la ocupaci√≥n de un mayor espacio), como las formas m√°s sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biol√≥gica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biol√≥gicas, es decir posibilitan cat√°strofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades m√°s complejas, como las hojas que presentan una morfolog√≠a similar a la peque√Īa rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del √°rbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biol√≥gica simple), que una rama o un √°rbol (forma biol√≥gica compleja).

Sistemas din√°micos

Un atractor extra√Īo: el Atractor de Lorenz.

Pero además las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

En manifestaciones artísticas

Imagen generada con el programa Apophysis.

Se usan tanto en la composici√≥n arm√≥nica y r√≠tmica de una melod√≠a como en la s√≠ntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo que en composici√≥n se llaman "micromodos", o peque√Īos grupos de 3 notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera horizontal (mel√≥dica), o vertical (arm√≥nica). A su vez, el ritmo puede ser trabajado en sucesiones temporales espec√≠ficas, que son determinadas por sucesiones de fractales.


Con programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

Véase también

Referencias

  1. ‚ÜĎ Beno√ģt Mandelbrot, La Geometr√≠a Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7
  2. ‚ÜĎ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.. pp. XXV. ISBN 0-470-84862-6. 
  3. ‚ÜĎ ¬ŅCu√°nto mide la costa de Gran Breta√Īa?
  4. ‚ÜĎ Stewart, Ian. De aqu√≠ al infinito. Cr√≠tica, Grijalbo Mondadori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.
  5. ‚ÜĎ B. Mandelbrot. Los objetos fractales. Forma, azar y dimensi√≥n. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN 978-84-7223-458-1
  6. ‚ÜĎ Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)
  7. ‚ÜĎ Jacquin, A.E.;Image coding based on a fractal theory of iterated contractive image transformations. Image Processing, IEEE Transactions on Volume 1, Issue 1, Jan. 1992 Page(s):18 - 30

Enlaces externos

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Mira otros diccionarios:

  • fractal ‚ÄĒ fractal, ale [ fraktal ] adj. et n. f. ‚ÄĘ 1975; d√©r. sav. du lat. fractus ¬ę bris√© ¬Ľ ‚ô¶ Didact. Objet fractal : objet math√©matique servant √† d√©crire des objets de la nature dont les formes d√©coup√©es laissent appara√ģtre √† des √©chelles d observation… ‚Ķ   Encyclop√©die Universelle

  • fractal ‚ÄĒ FRACT√ĀL, ńā, fract√°li, e, s.m. Ňüi adj. (Se spune despre o) CurbńÉ sau formńÉ foarte neregulatńÉ pentru care orice parte aleasńÉ √ģn mod convenabil devine similarńÉ ca formńÉ cu o alta mai mare sau mai micńÉ √ģn momentul √ģn care cea dint√Ęi este mńÉritńÉ,… ‚Ķ   Dic»õionar Rom√Ęn

  • fractal ‚ÄĒ 1975, from Fr. fractal, from L. fractus interrupted, irregular, lit. broken, pp. of frangere to break (see FRACTION (Cf. fraction)). Coined by French mathematician Benoit Mandelbrot in Les Objets Fractals. Many important spatial patterns of… ‚Ķ   Etymology dictionary

  • fractal ‚ÄĒ adj. 2 g. 1.¬† [Matem√°tica] Diz se de objetos matem√°ticos cuja forma √© irregular e fragmentada: Objeto fractal; geometria fractal. ‚ÄĘ s. f. 2.¬† [Matem√°tica] Conjunto geom√©trico ou objeto natural cujas partes t√™m a mesma estrutura (irregular e… ‚Ķ   Dicion√°rio da L√≠ngua Portuguesa

  • fractal ‚ÄĒ (Del fr. fractal, voz inventada por el matem√°tico franc√©s B. Mandelbrot en 1975, y este del lat. fractus, quebrado). m. F√≠s. y Mat. Figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribuci√≥n ‚Ķ   Diccionario de la lengua espa√Īola

  • Fractal ‚ÄĒ ¬† [engl.], Fraktal ‚Ķ   Universal-Lexikon

  • fractal ‚ÄĒ ¬†Fractal ¬†–§—Ä–į–ļ—ā–į–Ľ ¬† –Ď–Ķ—Ā–ļ–ĺ–Ĺ–Ķ—á–Ĺ–į—Ź —Ā–į–ľ–ĺ–Ņ–ĺ–ī–ĺ–Ī–Ĺ–į—Ź –≥–Ķ–ĺ–ľ–Ķ—ā—Ä–ł—á–Ķ—Ā–ļ–į—Ź —Ą–ł–≥—É—Ä–į, –ļ–į–∂–ī—č–Ļ —Ą—Ä–į–≥–ľ–Ķ–Ĺ—ā –ļ–ĺ—ā–ĺ—Ä–ĺ–Ļ –Ņ–ĺ–≤—ā–ĺ—Ä—Ź–Ķ—ā—Ā—Ź –Ņ—Ä–ł —É–ľ–Ķ–Ĺ—Ć—ą–Ķ–Ĺ–ł–ł –ľ–į—Ā—ą—ā–į–Ī–į. –§—Ä–į–ļ—ā–į–Ľ–į–ľ–ł —ā–į–ļ–∂–Ķ –Ĺ–į–∑—č–≤–į—é—ā —Ā–į–ľ–ĺ–Ņ–ĺ–ī–ĺ–Ī–Ĺ—č–Ķ –ľ–Ĺ–ĺ–∂–Ķ—Ā—ā–≤–į –Ĺ–Ķ—Ü–Ķ–Ľ–ĺ–Ļ —Ä–į–∑–ľ–Ķ—Ä–Ĺ–ĺ—Ā—ā–ł. –°–į–ľ–ĺ–Ņ–ĺ–ī–ĺ–Ī–Ĺ–ĺ–Ķ –ľ–Ĺ–ĺ–∂–Ķ—Ā—ā–≤–ĺ –ľ–Ĺ–ĺ–∂–Ķ—Ā—ā–≤–ĺ, –ļ–ĺ—ā–ĺ—Ä–ĺ–Ķ –ľ–ĺ–∂–Ĺ–ĺ ‚Ä¶   –Ę–ĺ–Ľ–ļ–ĺ–≤—č–Ļ –į–Ĺ–≥–Ľ–ĺ-—Ä—É—Ā—Ā–ļ–ł–Ļ —Ā–Ľ–ĺ–≤–į—Ä—Ć –Ņ–ĺ –Ĺ–į–Ĺ–ĺ—ā–Ķ—Ö–Ĺ–ĺ–Ľ–ĺ–≥–ł–ł. - –ú.

  • fractal ‚ÄĒ ‚ėÜ fractal [frak‚Ä≤t…ôl ] n. [< L fractus (see FRACTUS) + AL] Geom. an extremely irregular line or surface formed of an infinite number of similarly irregular sections: fractals have fractional dimension between one and two, or between two and… ‚Ķ   English World dictionary

  • Fractal ‚ÄĒ A fractal is generally a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced size copy of the whole, [cite book last = Mandelbrot first = B.B. title = The Fractal Geometry of… ‚Ķ   Wikipedia

  • fractal ‚ÄĒ /frak tl/, n. Math., Physics. a geometrical or physical structure having an irregular or fragmented shape at all scales of measurement between a greatest and smallest scale such that certain mathematical or physical properties of the structure,… ‚Ķ   Universalium


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