Función unitaria de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

H(x) = u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

  • Cambio de signo del argumento.
H(-x) = 1-H(x)\,
H'(x-a) = \delta(x-a)\,
 \mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}
  • Definición como límite de otras funciones.
H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}
H(x) = \lim_{t\to 0} \left (\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{t} \right )
  • Es la integral de la función delta de Dirac.
 H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}  dt
función escalón considerando H(0) = 1/2.

El valor de H(0) es convencional. La mayoría de autores lo definen como H(0) = 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}

 H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma:

 H_n(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0
             \\ n, & x = 0
             \\ 1, & x > 0
  \end{cases}

Una forma de representar esta función es a través de la integral

H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\epsilon} e^{-i x \tau} d\tau

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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