Gráfica de una función

FunEsc Definición 01.svg

En matemáticas, la gráfica de una función:


   \begin{array}{rccl}
      f: & X & \longrightarrow & Y \\
         & x & \longmapsto     & y= f(x)
   \end{array}

es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Contenido

Dominio de definición

El Dominio de definición D de una función es el subconjunto de X que tienen imagen en Y:


   D \subset X \; | \quad
   \forall x \in D: \;
   \exists y \in Y
   \quad \land \quad
   y= f(x)

Sin pérdida de la generalidad, consideramos, tanto el conjunto X como Y sea el de los números reales R, siendo X un intervalo o la unión de varios intervalos, podemos diferenciándose los siguientes casos:

FunEsc Dominio 01.svg

El dominio un intervalo abierto: (a,b). Se puede expresar:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a < x < b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

La forma de representar el intervalo abierto, da lugar a la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in (a, b)
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo abierto (a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 02.svg

Si el dominio un intervalo semiabierto: (a,b]. Tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a < x \leq b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in (a, b]
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 03.svg

Si el dominio es el intervalo semiabierto: [a,b). Tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a \leq x < b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in [a, b)
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 04.svg

Si el dominio un intervalo cerrado: [a,b] la expresión resultante es:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a \leq x \leq b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo cerrado, tenemos que:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in [a, b]
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo cerrado [a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

En estos ejemplos hemos podido ver, las distintas formas de representar los distintos tipos de intervalos, tanto abiertos semiabiertos o cerrados, en una expresión o en una gráfica.

Puntos de discontinuidad

En los puntos extremos de cada intervalo de definición de la función, o en los puntos intermedios de los intervalos de existencia, que presenten discuntinuidad, se presenta un punto de discontinuidad, que puede ser de alguno de estos tipos:


   Discontinuidad
   { \color{Red}
   \left \{
      \begin{array}{l}
         Evitable \\
         Esencial
            { \color{PineGreen}
            \left \{
               \begin{array}{l}
                  De \; primera \; especie
                  { \color{Blue}
                  \left \{
                     \begin{array}{l}
                        De \; salto \; finito \\
                        De \; salto \; infinito \\
                        Asint \acute{o} tica
                     \end{array}
                  \right .
                  }\\
                  
                  \\
                  De \; segunda \; especie
               \end{array}
            \right .
            } \\
      \end{array}
   \right .
   }

Galería de discontinuidades

Continuidad función 01.svg Continuidad función 02.svg Continuidad función 03.svg Continuidad función 04.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie.
Continuidad función 05.svg Continuidad función 10.svg Continuidad función 15.svg Continuidad función 20.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie.
Continuidad función 06.svg Continuidad función 07.svg Continuidad función 11.svg Continuidad función 12.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
Asintótica. Asintótica. Asintótica. Asintótica.
Continuidad función 08.svg Continuidad función 09.svg Continuidad función 13.svg Continuidad función 14.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito.
Continuidad función 16.svg Continuidad función 21.svg Continuidad función 17.svg Continuidad función 22.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito.
Continuidad función 19.svg Continuidad función 24.svg Continuidad función 25.svg Continuidad función 18.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
De salto finito. De salto finito. De salto finito. Evitable

Ejemplos

Gráfica de la función x3-9x.
  • La gráfica de la función
f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{si }x=1 \\ b, & \mbox{si }x=2 \\ c, & \mbox{si }x=3. \end{matrix}\right.
es {(1,a), (2,b), (3,c)}.
  • La gráfica del polinomio cúbico en la recta real
f(x)={{x^3}-9x} \!\
es {(x,x3-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

Método para representar la gráfica de una función de una variable

Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

  1. Buscar el dominio de la función, Dom f(x)
  2. Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los límites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.
  3. Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.
  4. Estudio de la monotonía. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.
  5. Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexión. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y así, sea x uno de estos puntos:
Si f(x) es negativa, entonces f(x) es cóncava
Si f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

Véase también

Herramientas para dibujar la gráfica de una función

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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