Introducción matemática a la relatividad general

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Introducción matemática a la relatividad general

La teoría de la relatividad general es una teoría métrica de la gravitación que incorpora además una descripción básica de los sistemas de referencia totalmente generales.

Matemáticamente la teoría de la relatividad describe los efectos del campo gravitatorio modelando el universo como una variedad pseudoriemanniana, que recibe el nombre de espacio-tiempo. El campo gravitatorio se manifiesta en la curvatura del espacio-tiempo de tal manera que cuanto más intenso es el campo gravitatorio en cierto punto mayores son las componentes del tensor de curvatura en ese punto.

Este artículo introduce los conceptos matemáticos básicos que intervienen en la teoría de la relatividad general, básicamente esos conceptos se refieren a la geometría diferencial, el cálculo sobre variedades y el álgebra tensorial.

Contenido

Formulación general de la teoría: entidades básicas

Los objetos básicos que intervienen en una descripción relativista de un modelo de universo son:

  • Una variedad pseudoriemanniana, (\mathcal{M},g), de cuatro dimensiones que modeliza la geometr√≠a del espacio tiempo. Aqu√≠ g designa el tensor m√©trico que permite definir la longitud de una curva, el √°ngulo entre vectores, las relaciones de ortogonalidad, el volumen de una regi√≥n del espacio tiempo, etc. Asociada a esta m√©trica se define una derivada covariante "compatible" con esta m√©trica (en la teor√≠a de la relatividad general esta m√©trica queda determinada por la condici√≥n de que la derivada del tensor m√©trico se anule id√©nticamente, en otras generalizaciones de la relatividad general, como la teor√≠a de Einstein-Cartan la "compatibilidad" se define de manera ligeramente diferente).
  • Los tensores f√≠sicos que son aplicaciones lineales definidas sobre los espacios vectoriales tangentes y cotangentes en cada punto del espacio-tiempo (es decir, puesto que espacio-tiempo es curvo en general el espacio vectorial tangente en dos puntos diferentes de dicho espacio-tiempo no coinciden y es necesario alg√ļn tipo de regla para "proyectar" o comparar el valor de una magnitud f√≠sica en un punto del espacio-tiempo con la misma magnitud en otro punto diferente). Dentro de los tensores b√°sicos que aparecen en la teor√≠a est√°n:
    • El tensor de energ√≠a-impulso, que da una descripci√≥n del tipo de materia del que est√° lleno un universo, de sus propiedades b√°sicas as√≠ como de su distribuci√≥n.
    • Los tensores de curvatura, que est√°n asociados a la intensidad del campo gravitatorio y son calculabes a partir de derivadas covariantes de la m√©trica. En particular las ecuaciones b√°sicas de la relatividad de Einstein establece que el tensor de curvatura de Einstein es proporcional al tensor de energ√≠a-impulso.
  • El conjunto de observadores f√≠sicamente admisibles puede definirse como el conjunto de posibles sistemas de coordenadas sobre la variedad espacio-tiempo o m√°s generalmente como una secci√≥n del fibrado principal de referencias (ortogonales). Un hecho b√°sico de la teor√≠a de la relatividad, es que diferentes observadores medir√°n diferentes valores de ciertas magnitudes f√≠sicas, dependiendo de su estado de movimiento relativo. Sin embargo, las medidas realizadas por diferentes observadores estar√°n relacionadas por cierto tipo de leyes tensoriales. De hecho un principio f√≠sico importante llamado principio de covariancia explicita que aunque las cantidades medidas por diferentes observadores son diferentes, las ecuaciones que relacionan las diferentes magnitudes medidas por un observador deben tener invariancia de forma para todos los observadores. Es decir, todos los observadores sean cuales sean describir√≠an los fen√≥menos f√≠sicos con leyes formalmente id√©nticas, es decir, con la misma forma.

La teoría proporciona ecuaciones que describen como se relacionan los tensores en cada punto del espacio, como determinan su curvatura y como se pueden relacionar entre sí las medidas realizadas por varios observadores moviéndose dentro del espacio-tiempo curvo.

Postulados básicos de la teoría de la relatividad general

La teoría de la relatividad general se basa en varios supuestos e interpretaciones de los objetos matemáticos que aparecen en ella entre los hechos más destacados están:

  1. Las magnitudes físicas medidas por un observador se representan por tensores expresados en la base de vectorial asociada a un observador.
  2. El espacio tridimensional efectivo visto por un observador es la subvariedad diferencial integral asociada a los tres vectores espaciales que definen su sistema de referencia.
  3. En ausencia de cualquier fuerza una part√≠cula de peque√Īa masa se mueve a trav√©s del espacio-tiempo siguiendo una l√≠nea geod√©sica o l√≠nea de m√≠nima curvatura en el espacio-tiempo.
  4. En presencia de fuerzas cualquier partícula u observador material se mueve a través de una curva cuyo vector tangente en todo punto es un vector temporal.
  5. En todo punto del espacio se cumplen las ecuaciones de campo de Einstein.

La variedad espacio-tiempo

Matemáticamente el universo o espacio-tiempo es representado mediante una entidad geométrica llamada variedad pseudoriemanniana, dentro de la cual se especificia un procedimiento para medir las distancias o tensor métrico, una derivada covariante asociada y un transporte paralelo asociado. Todas esas magnitudes permiten definir tanto la curvatura, como relacionar magnitudes físicas medidas por diferentes observadores situados en diferentes puntos del espacio-tiempo.

La curvatura del espacio

V√©ase tambi√©n: Geometr√≠a eucl√≠dea, Geometr√≠a no eucl√≠dea, Geometr√≠a hiperb√≥lica y Curvatura del espacio-tiempo
En la geometr√≠a eucl√≠dea, los √°ngulos de un tri√°ngulo suman siempre 180¬ļ.

Seg√ļn su curvatura, los espacios pueden clasificarse en tres categor√≠as diferentes: Espacios eucl√≠deos, o de curvatura nula, el√≠pticos, de curvatura positiva, e hiperb√≥licos, de curvatura negativa.

El espacio eucl√≠deo es el espacio ordinario. Fue el matem√°tico griego, Euclides, quien en el siglo III a. C. sistematiz√≥ en su obra Fundamentos los conocimientos geom√©tricos de la ciencia griega: En ella se realizaba un estudio minucioso y sistem√°tico de las figuras geom√©tricas y se establec√≠an 5 postulados fundamentales. De ellos, el m√°s importante era el quinto, denominado quinto postulado de Euclides, cuyas proposiciones principales son las siguientes:

  • La suma de las medidas de los √°ngulos de cualquier tri√°ngulo es igual a 180¬ļ (Euclides).
  • Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio).
  • Las rectas no equidistantes convergen en una direcci√≥n y divergen en la opuesta (ThńĀbit ibn Qurra, h. 826-901).
La superficie de la esfera es un paradigma de geometría elíptica. Como se puede contemplar en esta imagen, los ángulos de un triángulo trazado sobre dicha superficie suman más de 180 grados.

Este esquema fue aceptado por los matem√°ticos de los siglos posteriores. Sin embargo, en el siglo algunos matem√°ticos √°rabes, cmo ibn Hurra, se dieron cuenta de que los postulados de Euclides no funcionaban en determinadas estructuras geom√©tricas, como la superficie de una esfera. Se comenz√≥ a desarrollar progresivamente el estudio de la llamada geometr√≠a el√≠ptica, de curvatura positiva, cuyas caracter√≠sticas principales eran (y a√ļn siguen siendo) las siguientes:

  • La suma de las medidas de los √°ngulos de cualquier tri√°ngulo es superior a 180¬ļ.
  • Las rectas paralelas convergen progresivamente y terminan por cortarse entre s√≠.

Otros matemáticos posteriores, como János Bolyai o Nikolai Lobachevski crearon otro modelo geométrico no euclídeo que sin embargo, tenía una configuración completamente opuesta a la de la geometría elíptica: Se trataba del espacio hiperbólico, o de curvatura negativa, cuyas características principales son las siguientes:

  • La suma de las medidas de los √°ngulos de cualquier tri√°ngulo es inferior a 180¬ļ.
  • Las rectas paralelas divergen progresivamente y nunca llegan a cortarse.
La superficie de una silla de montar tiene las propiedades de un espacio hiperb√≥lico. Los √°ngulos de cualquier tri√°ngulo que se trace sobre ella suman menos de 180¬ļ. Las l√≠neas paralelas no permanecen a una distancia constante sino que divergen progresivamente entre s√≠.

Ahora bien, las geometrías elíptica e hiperbólica eran contempladas como simples casos especiales que no afectaban a la estructura del espacio en sí, que se consideraba plano y euclideo. Fue Carl Friedrich Gauss el primer matemático que intuyó la posibilidad de que nuestro espacio fuese curvo. Aunque incluso realizó experimentos al efecto, el genial matemático alemán no llegó a elaborar una teoría coherente en esta materia. Dicho honor le correspondería a su discípulo, Bernhard Riemann, cuyo trabajo, "Uber die Hypothesen die der Geometrie zugrunde liegen" revolucionaría el mundo de las matemáticas y la física. Unas décadas después, el matemático francés Henri Poincaré hacía la siguiente reflexión en uno de sus estudios: Si nuestro espacio es curvo, y dicha curvatura era capaz de afectar incluso a los rayos de la luz, provocando su difracción, nosotros experimentaríamos vivir en un espacio euclideo. Nada impediría, por tanto, concebir a nuestro espacio como intrínsecamente curvo.

Todas estas ideas fueron recogidas por Albert Einstein, quien empleando las herramientas matemáticas creadas por Bernhard Riemann, Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro y Erwin Bruno Christoffel, logró construir la teoría geométrica de la gravedad que hoy en día conocemos con el nombre de Teoría de la Relatividad General.

El tensor métrico

Artículo principal: Tensor métrico

El tensor métrico es el objeto matemático que permite calcular "distancias" y otros conceptos métricos en relatividad general. Además a partir de sus derivadas puede construirse el concepto de curvatura. Técnicamente es un tensor simétrico de segundo orden, a partir del cual puede calcularse longitud de una curva a partir de una integral a lo largo de tramos de dicha curva y definida entre dos puntos de la misma. Una vez especificado un sistema de coordenadas, el tensor métrico se representa mediante un conjunto de funciones gij, llamadas componentes o coeficientes del tensor métrico:

(1a)  g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \ dx^i\otimes dx^j

En física la expresión del tensor métrico se escribe de una forma en que se aprecia como las componentes anteriores se relacionan localmente con la longitud, mediante la expresión informal, usando el convenio de sumación de Einstein además dado el significado físico y uso del tensor se omiten los productos tensoriales y la expresión equivalente que usualmente se escribe es:

(1b) ds^2 =  g_{ij} \ dx^i dx^j \qquad \Rightarrow \qquad 
\left(\frac{ds}{d\lambda}\right)^2 = g_{ij} \ \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}

El ejemplo más sencillo posible de tensor métrico, es el del espacio euclídeo tridimensional, expresado en coordenadas cartesianas, cuyas componentes gij representadas matricialmente son precisamente las de la matriz identidad:

(*) g_{ij} = \begin{pmatrix} 
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

En este espacio, el c√°lculo de la distancia entre dos puntos, a y b unidos por una curva L = {(x1,...,xn)| őĽ en [a,b]} se puede expresara partir de (1b):

d(a,b) =\mbox{long}(L) = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}d\lambda= \dots

\ldots = \int_a^b \sqrt{ g_{11}\dot{x}^1\dot{x}^1 + g_{12}\dot{x}^1\dot{x}^2+ ...+ g_{21}\dot{x}^2\dot{x}^1+ g_{22}\dot{x}^2\dot{x}^2+ ... + g_{33}\dot{x}^3\dot{x}^3}\ d\lambda

Introduciendo los valores dados por (*) e introduciendo una parametrizaci√≥n ŌÜ del segmento (con ŌÜ(s0) = a y ŌÜ(sf) = b) debe entenderse como la integral de l√≠nea:

(a,b) =\mbox{long}(L) = \int_{s_0}^{s_f} \sqrt{ \left(\frac{dx}{ds}\right)^2 + \left(\frac{dy}{ds}\right)^2 + \left(\frac{dz}{ds}\right)^2}\ ds

De hecho, este tensor métrico es posible derivar el teorema de Pitágoras para tres dimensiones.

Car√°cter atractivo/repulsivo del campo

La genial intuición de Riemann: En la imagen vemos cómo la distancia entre dos partículas disminuye con el paso del tiempo. La disminución en el tiempo del valor de los coeficientes del tensor métrico equivale a una fuerza de atracción recíproca entre ambos cuerpos.

Tres nociones procedentes del cálculo de matrices, la traza, la signatura y el determinante, son esenciales para el desarrollo de las ecuaciones de la Relatividad General: La signatura es el conjunto de los coeficientes de la diagonal del tensor métrico (en el espacio tridimensional euclídeo sig = {1,1,1}). La traza es la suma de los coeficientes de la signatura (en el espacio euclídeo tr g = 3).

Una de las innovaciones m√°s importantes del matem√°tico alem√°n Bernhard Riemann fue la de considerar a la fuerza como una variaci√≥n de la m√©trica a trav√©s del tiempo, tesis que fue desarrollado en su escrito de habilitaci√≥n "Sobre las hip√≥tesis que sirven de base a la geometr√≠a",[1] del a√Īo 1854. De este modo, en el caso de que los coeficientes aumenten proporcionalmente con el paso del tiempo (tal y como se muestra en la siguiente matriz), nos encontramos ante una fuerza repulsiva. Si, por el contrario, los coeficientes disminuyen, surge una fuerza atractiva que provoca que la distancia entre dos cuerpos disminuya en el tiempo.

El transporte paralelo

Artículo principal: Transporte paralelo

En un espacio-tiempo curvo no existe una manera obvia de relacionar diferentes magnitudes vectoriales o tensoriales medidas en diferentes puntos del espacio-tiempo. Esto sucede porque el espacio tangente en cada punto del universo es diferente (a diferencia de lo que sucede en un espacio-tiempo plano donde el propio espacio-tiempo puede identificarse con su espacio tangente). El transporte paraleo es un procedimiento que permite comparar magnitudes vectoriales o tensoriales en diferentes puntos del universo. Para definir una forma de "transporte paralelo" es necesario definir una conexión métrica.

Una vez definida una conexi√≥n m√©trica se hace posible comparar magnitudes medidas en diferentes puntos del espacio tiempo. Una peculiaridad de los espacios-tiempo curvos es que el transporte paralelo hecho a trav√©s de una curva cerrada, lleva en general a un vector diferente del de partida, por culpa de la propia curvatura. De hecho esta √ļltima propiedad es la que se utiliza para medir la propia curvatura a trav√©s del tensor de curvatura de Riemann.

La derivada covariante

El hecho de que el espacio tiempo sea curvo hace que en cada punto del espacio, los espacios vectoriales tangentes no coincidan, y por tanto, al derivar una magnitud tensorial es necesario tener en cuenta tanto la variación de las componentes como de la base vectorial al cambiar de un punto a otro del espacio. Para expresar la derivada covariante respecto a una dirección asociada con la coordenada x^\alpha\, se usa la notación \nabla_\alpha en lugar de \part_\alpha. Así la derivada de una magnitud vectorial vendrá dada por la variación de las componentes y la base vectorial:

\nabla_\alpha \mathbf{V} = \nabla_\alpha (V^\beta \mathbf{e}_\beta)=
(\nabla_\alpha V^\beta)\mathbf{e}_\beta + V^\beta(\nabla_\alpha \mathbf{e}_\beta) =
(\nabla_\alpha V^\beta)\mathbf{e}_\beta + V^\beta(\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \mathbf{e}_\gamma)

En la epxresi√≥n anterior hemos hecho uso de la convenio de sumaci√≥n de Einstein sobre ind√≠ces repetidos (ő≤,ő≥), que aparecen en un mismo t√©rmino arriba y abajo. En la expresi√≥n anterior \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma\, son los llamados s√≠mbolos de Christoffel que expresan la derivada de un vector como combinaci√≥n lineal de los vectores de la base. La expresi√≥n anterior puede expresarse, teniendo en cuenta que los √≠ndices repetidos son √≠ndices mudos, equivalentemente como:

\nabla_\alpha \mathbf{V} = \left( \nabla_\alpha V^\gamma + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma  V^\beta \right) \mathbf{e}_\gamma

Donde la expresi√≥n entre par√©ntesis son las componentes de la derivada coviariante del vector expresado en la misma base de partida. Adem√°s resulta que para un n√ļmero escalar:

\nabla_\alpha \phi = \part_\alpha \phi

Por lo que la expresión de la derivada puede dejarse finalmente como:

\nabla_\alpha \mathbf{V} = \left( \part_\alpha V^\gamma + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma  V^\beta \right) \mathbf{e}_\gamma

La ecuación de líneas geodésicas

Una línea geodésica es una línea curva sobre la variedad de mínima curvatura. En una variedad riemanniana una línea geodésica entre dos puntos suficientemente cercanos es necesariamente una curva de mínima longitud, es decir, el camino más corto posible entre dos puntos. En cambio en una variedad pseudoriemanniana, o entre puntos alejados de ciertas variedades riemannianas, una línea geodésica puede ser alternativamente una línea de máxima longitud entre dos puntos. Las geodésicas son importantes en relatividad, porque la teoría postula que las partículas materiales en ausencia de fuerzas exteriores se moverán a lo largo de alguna geodésica temporal.

Matemáticamente la condición de que una línea sea geodésica, es que el transporte paralelo de su vector tangente a lo largo de la curva coincide en cada punto con el propio vector tangente a la curva. Puede demostrarse, que una curva que pasa por el punto x(0) = x0 y que en ese punto tiene un vector tangente dado por v, es geodésica de hecho si cumple la condición:

\begin{cases}
 \cfrac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \cfrac{dx^\sigma}{ds}\cfrac{dx^\nu}{ds} = 0 \\
x(0) = x_0 \quad \cfrac{dx(0)}{ds} = \mathbf{v} \end{cases}

Donde:

s\;, es precisamente la longitud de arco a lo largo de la curva.
x(0)=x_0, \dot{x}(0) = \mathbf{v}, son el punto inicial y el vector tangente en el punto incial.

En relatividad el cálculo de las geodésicas es importante para determinar como se está moviendo globalmente la materia en un espacio-tiempo.

C√°lculo tensorial en el espacio-tiempo curvo

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.

Muchas magnitudes físicas representan conceptos sólo requieren cantidad para ser caracterizados, estos conceptos se representan por magnitudes escalares. Otros conceptos o fenómenos más complejos requieren en cada punto caracterizar una determinada dirección o sentido y estas propiedades se llaman magnitudes vectoriales y en relatividad general vienen representadas por campos vectoriales. Finalmente otros fenómenos físicos requieren expresar la relación entre magnitudes vectoriales medibles, se llaman magnitudes tensoriales, estas se representan por campos tensoriales (las magnitudes que representan a su vez relaciones entre tensores, son tensores de orden superior al segundo, y así sucesivamente).

Un problema básico es que en un espacio-tiempo curvo, el hiperplano tangente a la variedad en cada punto (considerado como objeto de \R^n, con n > 4) en cada punto es diferente. De la misma manera que en una esfera cada punto tiene su plano propio plano tangente. Ese hecho requiere que se defina alguna regla para comparar vectores y tensores medidos por un mismo observador a medida que se mueve a través del espacio-tiempo. Por ejemplo para poder hablar de que cierta magnitud física permanece constante a lo largo del movimiento debemos tener en cuenta que en cada instante la magnitud física está definida sobre un punto diferente y por tanto sobre espacios tangentes diferentes en cada momento. Así que para hablar de "conservación" o comparación necesitamos definir una regla físicamente razonable que permita identificar magnitudes defindas en puntos diferentes, de manera continua.

Vectores y 1-formas sobre el espacio-tiempo

Un campo vectorial en relatividad general se puede representar como una aplicación diferenciable: \hat{V}:\mathcal{M}\to \mathcal{M}\times\R^4. Más formalmente si se define el llamado fibrado tangente a la variedad como:

T\mathcal{M} := \{(p,v)|p\in \mathcal{M}, v\in T_p\mathcal{M} \}

Este conjunto puede ser dotado de manera natural de estructura de variedad diferenciable de dimensión (4+4). Usando este conjunto un campo vectorial se define usualmente como la aplicación:

V:\mathcal{M}\to T\mathcal{M}

La definición de una 1-forma es análoga al de campo vectorial sin más que substituir en cada punto el espacio tantenge por el espacio cotangente. Matemáticamente el espacio cotangente es un espacio vectorial análogo al espacio tangente, que de hecho es el espacio dual del primero, por lo que tiene la misma dimensión y estructura, y puede construirse un isomorfismo entre ellos. En teoría de la relatividad el hecho de que exista un tensor métrico no degenerado hace que sea posible definir un isomorfismo canónico entre el espacio tangente en un punto y el espacio cotagente dado por:

\phi_g: T{\mathcal{M}}\to T^*{\mathcal{M}}, \quad [\forall V\in T{\mathcal{M}}: \phi_g(U_p)=g(U_p,V_p)] \to \qquad \phi_g(\cdot):=g(\cdot,V_p)

Esto se sule representar en notación de componentes como:

U_\alpha dx^\alpha:=\phi_g\left(U^\alpha \frac{\part}{\part x^\alpha} \right) \quad \mbox{con} \quad U_\alpha = g_{\alpha\beta} U^\beta

Esto tiene una importante consecuencia, cualquier magnitud f√≠sica vectorial puede ser representada indistintamente por un vector campo vectorial o por 1-forma, seg√ļn conveniencia matem√°tica, y sin que le hecho de usar una u otra descripci√≥n altere el contenido f√≠sico de lo que se representa. Esa "equivalencia" de representaci√≥n es lo que conduce a la operaci√≥n de "subir y bajar √≠ndices", que no es otra cosa que un cambio de forma a la hora de representar una misma magnitud f√≠sica.

Magnitudes tensoriales sobre el espacio-tiempo

Análogamente a como se han definido los campos vectoriales y las 1-formas, pueden definirse tensores de orden superior como aplicaciones diferenciables que asignan a cada punto del espacio-tiempo un objeto de un cierto espacio vectorial. En este caso ese espacio vectorial tiene estructura de producto tensorial formado a partir de los espacios tangente y cotangente del espacio-tiempo en el punto concreto, así un tensor r veces contravariante y s veces covariante puede definirse como una aplicación diferenciable T:\mathcal{M}\to \mathcal{T}^r_s(\mathcal{M}) donde:

\mathcal{T}^r_s(\mathcal{M}) := \{(p,v)|p\in \mathcal{M}, v\in  
\begin{matrix} r \\ \underbrace{T_p\mathcal{M} \times ...\times T_p\mathcal{M}} \end{matrix}\times
\begin{matrix} s \\ \underbrace{T^*_p\mathcal{M} \times ...\times T^*_p\mathcal{M}} \end{matrix} \}

el siguiente cuadro muestra como algunas leyes de la mecánica clásica y el electromagnetismo, escritas en notación vectorial clásica, puden ser reescritas usando las componentes de magnitudes tensoriales:

Ejemplos de algunas leyes físicas en notación vectorial y tensorial
Nombre de la ley Notación vectorial Notación tensorial
Relación fuerza-trabajo W = \vec F \cdot{\vec ds} W\ = g_{ij}F^i ds^i = F^i ds_i.
Fuerza de Lorentz \vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B) F^i =q (E^i + \epsilon_{ijk}v^jB^k)
Teorema de Gauss \oint_S \vec{E} \cdot{d\vec{S}} 
= \int_V \nabla \cdot \vec{E}\ dV \oint_S \frac{1}{2} E^i \epsilon_{ijk}F_{[jk]} = \int_V \partial_i E^i \sqrt{-g} d \Omega
Teorema de Stokes \oint_L \vec{E} \cdot{dl} = \int_S \nabla \times \vec{E}\ dS \oint_L E^i dl_i = \int_S \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \partial_j E^k \epsilon_{ilm}F_{[lm]}

Curvatura del espacio-tiempo

En en seno de la teoría de la relatividad general, el campo gravitatorio se considera el efecto de la curvatura del espacio-tiempo. Es decir, el hecho de que la geometría del espacio-tiempo no sea euclídea o plana, produce efectos en las trayectorias de las partículas que provocan efectos que parecen deberse a fuerzas de atracción entre las masas.

El tensor de curvatura de Riemann

Artículo principal: tensor de curvatura

En la teoría de variedades de Riemann surge de manera natural la pregunta de cuando dos variedades son localmente isométricas con sus respectivas métricas. La respuesta es que dos variedades son localmente isométricas si localmente los tensores de curvatura de Riemann coinciden (en el entorno de dos puntos correspondientes en las dos variedades). Esta propiedad hace que el tensor de Riemann caracterice localmente el comportamiento de las geodésicas en una variedad. Concreamente, puede probarse que dado un entorno de un punto del espacio tiempo la métrica alrededor de él admite un desarrollo en serie de Taylor en coordenadas galileanas del tipo:

(*) g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} - \frac{1}{3} R_{\mu\alpha\beta\nu}x^\alpha x^\beta + O(|x|^3)

Donde \scriptstyle \eta_{\mu\nu} denota la métrica de Minkowski en coordenadas galileanas. En estas coordenadas los símbolos de Cristoffel se anulan en el punto \scriptstyle x =0. Dada la ecuación anterior el tensor de curvatura mide "cuanto se aleja el espacio-tiempo de la planitud". Si el tensor de Riemann se anula idénticamente el espacio tiempo es isométrico al espacio-tiempo de Minkowski en todos sus puntos.

El tensor de curvatura de Ricci

El tensor de curvatura de Ricci es un tensor de segundo orden construido a partir del tensor de curvatura de Riemann, que tiene propiedades matem√°ticamente interesantes. Se define como:

\hat{R}_{\alpha\beta} = \sum_{\gamma} {R_{\gamma\alpha\beta}}^\gamma =
\sum_{\gamma} g^{\gamma\delta} R_{\gamma\alpha\beta\delta}

Este tensor de Ricci est√° relacionado con las diferentes curvaturas seccionales del espacio-tiempo seg√ļn diferentes planos. Debe tenerse en cuenta que el tensor de Ricci no caracteriza completamente la geometr√≠a del espacio tiempo, es decir, dados dos unviersos con el tensores de Ricci iguales en puntos correspondientes, sus geometr√≠as no tienen porqu√© coincidir (ni siquiera localemnte) dado que sus tensores de Riemann no tienen porqu√© coincidir. Existen una descomposici√≥n del tensor de curvatura de Riemann:

\text{curvatura total} = \text{curvatura conforme}\ +\ \text{curvatura seccional}\ +\ 
\text{curvatura escalar}\,

El primer miembro caracteriza por el tensor de curvatura de Riemann, mientras que en el segundo miembro el primer t√©rmino se caracteriza mediante tensor de curvatura de Weyl, el segundo por el tensor de curvatura de Ricci, y el √ļltimo por la curvatura escalar.

El escalar de curvatura de Ricci

Artículo principal: Curvatura escalar

El tensor de curvatura de Weyl

Otra pregunta natural en el contexto de las variedades riemannianas o pseudoriemannianas un poco más general que la de isometría, es bajo qué condiciones existe una aplicación conforme entre entornos de dos puntos de dos variedades. Si la existencia de isometrías requiere la coincidencia de los tensores de curvatura de Riemann respectivos, la existencia de aplicaciones conformes sólo requiere la coincidencia del tensor de curvatura de Weyl. Por tanto, dos espacios-tiempo que son conformementes equivalentes tienen el mismo tensor de Weyl. El tensor de Weyl puede construirse a partir de los tensores de curvatura mencionados anteriormente:

C_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}s~g_{a[c}g_{d]b}

Donde:

R_{abcd}\, son las componentes del tensor de Riemann.
R_{ab}\, son las componentes del tensor de Ricci.
s \, es la curvatura escalar de Ricci.
[ \ ]\, se refiere a la parte antisimétrica de un tensor.


El tensor de torsión

En la teor√≠a de la relatividad general ordinaria la conexi√≥n matem√°tica se toma como la √ļnica conexi√≥n lineal sin torsi√≥n y sim√©trica. Y por tanto en se contexto el tensor torsi√≥n es id√©nticamente nulo. Sin embargo, algunas teor√≠as que generalizan como la teor√≠a de Einstein-Cartan involucran un tensor torsi√≥n diferente de cero y un tensor de Ricci asim√©trico (esta teor√≠a fue introducida para describir el momento angular intr√≠nseco o esp√≠n en el contexto de la f√≠sica cl√°sica). El tensor torsi√≥n \scriptstyle \tau(\cdot,\cdot) se define como:

\tau(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]\,

O en componentes:

{\tau_{\alpha\beta}}^\gamma =
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta} - \Gamma^\gamma_{\beta\alpha}

Obviamente en la teoría de la relatividad general ordinaria se considera que los símbolos de Cristoffel son simétricos en los dos indices inveriores y por tanto el tensro de torsión se anula:

\Gamma^\gamma_{\alpha\beta} = \Gamma^\gamma_{\beta\alpha} \quad \Rightarrow \quad
{\tau_{\alpha\beta}}^\gamma = 0

Sistemas de referencia y magntiudes físicas

Principio de mínima acción y lagrangiano

Todos los sistemas f√≠sicos interesantes parecen ser describibles mediante una integral de acci√≥n o funcional de acci√≥n que asigna a cualquier "trayectoria" posible del sistema o evoluci√≥n en el espacio-tiempo un escalar. De todas las configuraciones f√≠sicamente admisibles los sistemas parecen evolucionar de acuerdo con el principio de m√≠nima acci√≥n seg√ļn el cual el sistema evoluciona en el espacio-tiempo de manera que la integral de acci√≥n es un punto cr√≠tico del funcional de acci√≥n. Eso implica que se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange. Si se elige el lagrangiano o integrando del funcional de acci√≥n adecuadamente se llegan a ecuaciones que describen correctamente la evoluci√≥n del sistema. Por tanto, el problema de construir una formulaci√≥n de m√≠nima acci√≥n para el campo gravitatorio se redude a construir un lagrangiano de la forma adecuada.

Dada la relaci√≥n entre la curvatura del espacio-tiempo y el campo gravitatorio y las necesidades del principio de covariancia, resulta natural buscar un lagrangiano para el campo que est√© relacionado con alg√ļn escalar asociado al tensor m√©trico y sus derivadas primeras (equivalentemente los s√≠mbolos de Christoffel \scriptstyle \Gamma_{ij}^k) o con el tensor de curvatura. Puede probarse que no es posible hallar ning√ļn escalar que involucre s√≥lo las componentes del tensor m√©trico y los s√≠mbolos de Christoffel, ya que mediante cierta transformaci√≥n de coordenadas se pueden anular √©stos √ļltimos (lo cual es precisamente el contenido del llamado principio de equivalencia).

Es interesante que la curvatura escalar R, nos da una forma de acci√≥n adecuada: aunque contiene derivadas segundas del tensor m√©trico, la variaci√≥n de su integral de acci√≥n sobre una regi√≥n puede puede acabar expres√°ndose en t√©rminos de s√≥lo derivadas primeras.[2] De hecho la forma com√ļn de la integral de acci√≥n para el campo gravitatorio m√°s com√ļnmente en la teor√≠a de la relatividad general es:

S_{c,g}[ g_{\mu\nu},\Omega ]  = -\frac{c^3}{16\pi G} \int_{\Omega} R\ \sqrt{-g}d\Omega

Donde:

R\;, es la curvatura escalar del espacio-tiempo.
G,\ c\;, son la constante de la gravitación y la velocidad de la luz.
g_{\mu\nu},\ \gamma_{\mu\nu}\; son las componentes de la métrica (pseudo)riemanniana efectiva y del espacio de Minkowski subyacente.
\sqrt{-g}, se calculan a partir del determinante de la métrica efectiva.

Algunas teorías métricas de la gravitación como la teoría relativista de la gravitación usan lagrangiano ligeramente más complicado que incluye términos asociados a la masa del gravitón:

S_{c,g}[ g_{\mu\nu},\Omega ]  = -\frac{c^3}{16\pi G} \int_{\Omega} \left[ \sqrt{-g}R - \left(\cfrac{Gm_g}{c^2}\right)^2\left(\sqrt{-g}\frac{\gamma_{\mu\nu}g^{\mu\nu}}{2} - \sqrt{-g} - \sqrt{-\gamma}\right)\right] d\Omega

Donde:

\sqrt{-\gamma}, se calcula a partir del determinante de la métrica minkowskiana,.
m_g\;, es la masa del gravitón.

Ecuaciones del campo gravitatorio

Artículo principal: Ecuaciones del campo de Einstein

Generalizaciones y alternativas cl√°sicas de la RG

La teoría de la relatividad general ha tenido un enorme éxito al explicar el movimiento de los planetas y otros objetos en el sistema solar. En ese sentido han podido ser explicados hechos nuevos que no habrían podido ser explicados por la teoría newtoniana como:

  • El desplazamiento del perihelio de Mercurio.
  • La deflexi√≥n de los rayos de luz provenientes de estrellas lejanas.
  • El retarde relativo de se√Īales de radar.

También la teoría de la relatividad general ha sido muy prolífica en cosmología a la hora de responder a cuestiones sobre el origen, evolución y destino final del propio universo, aunque en ese punto si bien la teoría puede dar cuenta de los hechos básicos observados existen teorías alternativas y generalizaciones de la relatividad que también pueden dar cuenta de la forma general y estructura del universo. Entre las generalizaciones más interesantes destacan.

  • Teor√≠a de Einstein-Cartan, es una teor√≠a m√©trica en cuatro dimensiones de la gravitaci√≥n que permite explicar adem√°s de los hechos b√°sicos de la relatividad general el esp√≠n o momento angular intr√≠nseco de las part√≠culas como propiedad geom√©trica asociada a la estructura del espacio-tiempo. Esto se realiza introduciendo un tensor de torsi√≥n diferente de cero (la teor√≠a de la relatividad general de Einstein puede considerarse un caso particular de esta otra teor√≠a cuando el tensor de torsi√≥n se anula).
  • Teor√≠as de Kaluza-Klein, constituyen un conjunto de diferentes teor√≠as con peque√Īas diferencias entre si, en las que no s√≥lo el campo gravitatorio es interpretado como un efecto geom√©trico, sino que en √ļltima instancia pretende explicar toda la materia o algunas formas de la msima como el efecto geom√©trico de una geometr√≠a curvada de dimensi√≥n n > 4. As√≠ realmente el campo electromagn√©tico puede ser explicado fenomenol√≥gicamente introduciendo un espacio-tiempo de 5 dimensiones, en el que al considerar la proyecci√≥n del movimiento sobre una variedad de dimensi√≥n cuatro las part√≠culas parecen moverse dentro de ella como si su movimiento estuviera perturbado por un campo electromagn√©tico.

Otras teor√≠as comparten un buen n√ļmero de principios y descripciones b√°sicas con la relatividad general pero introducen nuevos t√©rminos o modificaciones que producen consecuencias f√≠sicas detectables diferentes a las que predice la relatividad y que por tanto son realmente correcciones o alternativas que explican b√°sicamente los mismos hechos que la relatividad general pero hacen predicciones diferentes sobre la ocurrencia de ciertos fen√≥menos emp√≠ricamente no bien establecidos y que podr√≠an establecer, si los resultados son compatibles con las anternativas a la RG y con la propia RG, que la teor√≠a de la relatividad general en s√≠ misma debe ser corregida o abandonada en favor de una de estas alternativas, un ejemplo particularmente interesante de este tipo de teor√≠as es la teor√≠a relativista de la gravitaci√≥n de Logunov.

Referencia

  1. ‚ÜĎ En alem√°n "√úber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen".
  2. ‚ÜĎ Landau & Lifshitz, Teor√≠a cl√°sica de los campos, pp. 372-373

Bibliografía

  • Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
  • Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
  • Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.

Véase también


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