Proceso Δ² de Aitken

En análisis numérico, el método o proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926.[1] Su forma primitiva era conocida por Kōwa Seki (finales del siglo XVII) y fue encontrado en la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de pi. Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge linealmente.

Cuando se aplica el método de Aitken a una sucesión obtenida mediante una iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen.

Contenido

Definición

Dada una sucesión x={(x_n)}_{n\in\N}, se calcula la nueva sucesión \hat{x}={(\hat{x}_n)}_{n\in\N} definida como

\hat{x}_{n+2}=x_{n+2} - \frac{(x_{n+2} - x_{n+1})^2}{x_{n+2}-2\,x_{n+1}+x_n}.

Si se emplea el operador Δ de las diferencias progresivas definido como

Δxn = xn + 1xn.
Δ2xn = Δ(Δxn) = xn + 2 − 2xn + 1 + xn

también puede escribirse como:

\hat{x}_{n+2} = x_{n+2}-\frac{(\Delta x_{n+1})^2}{\Delta^2 x_{n}}

Propiedades

El proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia, y en particular un caso de transformación no lineal de una sucesión.

x converge linealmente a \ell si existe un número μ ∈ (0, 1) tal que

 \lim_{n\to \infty} \frac{|x_{n+1}-\ell|}{|x_n-\ell|} = \mu.

El método de Aitken acelerará la sucesión xn si y sólo si \lim_{n \to \infty}\frac{\hat{x}_n-\ell}{x_n-\ell}=0.

Aunque la nueva sucesión no converge en general de forma cuadrática, se puede demostrar que para un método de punto fijo, es decir, para una sucesión x(n + 1) = f(xn) para alguna función iterada f, convergiendo hacia un punto fijo, la convergencia es cuadrática. En este caso, la técnica se conoce como método de Steffensen.

Ejemplos

Ejemplo 1 (Aceleración de una sucesión)

El valor de \sqrt{2} \approx 1.4142136 puede aproximarse mediante la sucesión an con valor inicial a0 = 1 definida de manera iterativa como:
a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}.
n x = valor iterado y = valor calculado
0 1 1.4285714
1 1.5 1.4141414
2 1.4166667 1.4142136
3 1.4142157 --
4 1.4142136 --

Ejemplo 2 (Aceleración de una serie)

El valor de \frac{\pi}{4} puede calcularse como una suma infinita:
\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \approx 0.785398
n término x = suma parcial Ax
0 1 1 0.79166667
1 -0.33333333 0.66666667 0.78333333
2 0.2 0.86666667 0.78630952
3 -0.14285714 0.72380952 0.78492063
4 0.11111111 0.83492063 0.78567821
5 -9.0909091e-2 0.74401154 0.78522034
6 7.6923077e-2 0.82093462 0.78551795
7 -6.6666667e-2 0.75426795 --
8 5.8823529e-2 0.81309148 --

Notas

  1. Alexander Aitken, "On Bernoulli's numerical solution of algebraic equations", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh (1926) 46 pp. 289-305.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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