N√ļmero cu√°ntico

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N√ļmero cu√°ntico
Representación clásica de un átomo en los modelos de Rutherford y Bohr.

Los n√ļmeros cu√°nticos son unos n√ļmeros que se conservan en los sistemas cu√°nticos. Corresponden con aquellos observables que conmutan con el Hamiltoniano del sistema. As√≠, los n√ļmeros cu√°nticos permiten caracterizar los estados estacionarios, es decir los estados propios del sistema.

En f√≠sica at√≥mica, los n√ļmeros cu√°nticos son valores num√©ricos discretos que nos indican las caracter√≠sticas de los electrones en los √°tomos, esto est√° basado en la teor√≠a at√≥mica de Niels Bohr que es el modelo at√≥mico m√°s aceptado y utilizado en los √ļltimos tiempos por su simplicidad.

En f√≠sica de part√≠culas, tambi√©n se emplea el t√©rmino n√ļmeros cu√°nticos para designar a los posibles valores de ciertos observables o magnitud f√≠sica que poseen un espectro o rango posible de valores discreto.

Contenido

Sistemas atómicos

La teor√≠a de los cuantos: Es un m√©todo para determinar las estructuras moleculares de los electrones que no est√°n asignados a enlaces individuales entre √°tomos, sino que se toman con un movimiento que esta bajo la influencia de los n√ļcleos de toda la mol√©cula

¬ŅCu√°ntos n√ļmeros cu√°nticos hacen falta?

La cuesti√≥n de "¬Ņcu√°ntos n√ļmeros cu√°nticos se necesitan para describir cualquier sistema dado?" no tiene respuesta universal, aunque para cada sistema se debe encontrar la respuesta a un an√°lisis completo del sistema. De hecho, en t√©rminos m√°s actuales la pregunta se suele formular c√≥mo "¬ŅCu√°ntos observables conforman un conjunto completo de observables compatible?". Ya que un n√ļmero cu√°ntico no es m√°s que un autovalor de cada observable de ese conjunto.

La din√°mica de cualquier sistema cu√°ntico se describe por un Hamiltoniano cu√°ntico, \scriptstyle H. Existe un n√ļmero cu√°ntico del sistema correspondiente a la energ√≠a, es decir, el autovalor del Hamiltoniano. Existe tambi√©n un n√ļmero cu√°ntico para cada operador \scriptstyle O_i que conmuta con el Hamiltoniano (es decir, satisface la relaci√≥n \scriptstyle HO_i = O_iH). Estos son todos los n√ļmeros cu√°nticos que el sistema puede tener. N√≥tese que los operadores \scriptstyle O_i que definen los n√ļmeros cu√°nticos deben ser mutuamente independientes. A menudo existe m√°s de una forma de elegir un conjunto de operadores independientes. En consecuencia, en diferentes situaciones se pueden usar diferentes conjuntos de n√ļmeros cu√°nticos para la descripci√≥n del mismo sistema.Ejemplo: √Ātomos hidrogenoides

Conjunto de n√ļmeros cu√°nticos

El conjunto de n√ļmeros cu√°nticos m√°s ampliamente estudiado es el de un electr√≥n simple en un √°tomo: a causa de que no es √ļtil solamente en qu√≠mica, siendo la noci√≥n b√°sica detr√°s de la tabla peri√≥dica, valencia y otras propiedades, sino tambi√©n porque es un problema resoluble y realista, y como tal, encuentra amplio uso en libros de texto.

En mec√°nica cu√°ntica no-relativista el Hamiltoniano de este sistema consiste de la energ√≠a cin√©tica del electr√≥n y la energ√≠a potencial debida a la fuerza de Coulomb entre el n√ļcleo y el electr√≥n. La energ√≠a cin√©tica puede ser separada en una parte debida al momento angular, J, del electr√≥n alrededor del n√ļcleo, y el resto. Puesto que el potencial es esf√©ricamente sim√©trico, el Hamiltoniano completo conmuta con J2. A su vez J2 conmuta con cualquiera de los componentes del vector momento angular, convencionalmente tomado como Jz. Estos son los √ļnicos operadores que conmutan mutuamente en este problema; por lo tanto, hay tres n√ļmeros cu√°nticos. Adicionalmente hay que considerar otra propiedad de las part√≠culas denominada esp√≠n que viene descrita por otros dos n√ļmeros cu√°nticos.

En particular, se refiere a los n√ļmeros que caracterizan los estados propios estacionarios de un electr√≥n de un √°tomo hidrogenoide y que, por tanto, describen los orbitales at√≥micos. Estos n√ļmeros cu√°nticos son:

I) El n√ļmero cu√°ntico principal n Este n√ļmero cu√°ntico indica la distancia entre el n√ļcleo y el electr√≥n, medida en niveles energ√©ticos, pero la distancia media en unidades de longitud tambi√©n crece mon√≥tonamente con n. Los valores de este n√ļmero, que corresponde al n√ļmero del nivel energ√©tico, varian entre 1 e infinito, mas solo se conocen √°tomos que tengan hasta 7 niveles energ√©ticos en su estado fundamental.
II) El n√ļmero cu√°ntico del momento angular o azimutal (l = 0,1,2,3,4,5,...,n-1), indica la forma de los orbitales y el subnivel de energ√≠a en el que se encuentra el electr√≥n. Un orbital de un √°tomo hidrogenoide tiene l nodos angulares y n-1-l nodos radiales. Si:
'l = 0: Subórbita "s" ("forma circular") →s proviene de sharp (nitido) (*)
l = 1: Subórbita "p" ("forma semicircular achatada") →p proviene de principal (*)
l = 2: Subórbita "d" ("forma lobular, con anillo nodal") →d proviene de difuse (difuso) (*)
l = 3: Subórbita "f" ("lobulares con nodos radiales") →f proviene de fundamental (*)
l = 4: Subórbita "g" (*)
l = 5: Subórbita "h" (*)
(*) Para obtener mayor información sobre los orbitales vea el artículo Orbital.
III) El n√ļmero cu√°ntico magn√©tico (m, ml), Indica la orientaci√≥n espacial del subnivel de energ√≠a, "(m = -l,...,0,...,l)". Para cada valor de l hay 2l+1 valores de m.
IV) El n√ļmero cu√°ntico de esp√≠n (s, ms), indica el sentido de giro del campo magn√©tico que produce el electr√≥n al girar sobre su eje. Toma valores 1/2 y -1/2.

En resumen, el estado cu√°ntico de un electr√≥n est√° determinado por sus n√ļmeros cu√°nticos:

n√ļmero cu√°ntico principal n \ shell o capa 1 \le n
\,\! n=1,2,3...\,\!
n√ļmero cu√°ntico secundario o azimutal (momento angular) \ell \ subshell o subcapa  0 \le \ell \le n-1 \ para n=3\,\!:

\ell=0,1,2\,(s, p, d) \

n√ļmero cu√°ntico magn√©tico, (proyecci√≥n del momento angular) m_\ell
\ energía shift -\ell \le m_\ell \le \ell \ para

\ell=2 \ :
m_\ell=-2,-1,0,1,2\,\!

n√ļmero cu√°ntico proyecci√≥n de esp√≠n m_s\,\! esp√≠n -
\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} , \begin{matrix} \frac{1}{2}
\end{matrix} \ para un electrón, sea: - \begin{matrix}
\frac{1}{2} \end{matrix} , \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \

Con cada una de las capas del modelo at√≥mico de Bohr correspond√≠a a un valor diferente del n√ļmero cu√°ntico principal. M√°s tarde se introdujeron los otros n√ļmeros cu√°nticos y Wolfgang Pauli, otro de los principales contribuidores de la teor√≠a cu√°ntica, formul√≥ el celebrado principio de exclusi√≥n basado en los n√ļmeros cu√°nticos, seg√ļn el cual en un √°tomo no puede haber dos electrones cuyos n√ļmeros cu√°nticos sean todos iguales. Este principio justificaba la forma de llenarse las capas de √°tomos cada vez m√°s pesados, y daba cuenta de por qu√© la materia ocupa lugar en el espacio.

Desde un punto de vista mecano-cu√°ntico, los n√ļmeros cu√°nticos caracterizan las soluciones estacionarias de la Ecuaci√≥n de Schr√∂dinger.

No es posible saber la posici√≥n y la velocidad exactas de un electr√≥n en un momento determinado, sin embargo, es posible describir d√≥nde se encuentra. Esto se denomina principio de incertidumbre o de Heisenberg. La zona que puede ocupar un electr√≥n dentro de un √°tomo se llama orbital at√≥mico. Existen varios orbitales distintos en cada √°tomo, cada uno de los cuales tiene un tama√Īo, forma y nivel de energ√≠a espec√≠fico. Puede contener hasta dos electrones que, a su vez, tienen n√ļmeros cu√°nticos de esp√≠n opuestos.

Sistemas generales

La cantidad de n√ļmeros cu√°nticos requieridos para representar un estado ligado de un sistema cu√°ntico general depender√° del cardinal de un conjunto cu√°ntico completo de observables compatibles (CCOC). Dado un CCOC formado por los observables \scriptstyle \{A_1,\ \dots,\ A_n\} todo estado del sistema puede ser expresado por la serie num√©rica de la forma:

|\psi\rangle = \sum_{i_1,\dots,i_n} c_{i_1,\dots,i_n} |\alpha_1\ \dots\ \alpha_n \rangle

Donde cada uno de los estados \scriptstyle |\alpha_1\ \dots\ \alpha_n \rangle es simult√°neamente propio de cada uno de los observables que forman el CCOC:

A_i|\alpha_1\dots \alpha_n \rangle =
\alpha_i |\alpha_1\dots \alpha_n \rangle

El conjunto de valores \scriptstyle \{\alpha_1,\ \dots\ \alpha_n\} son los n√ļmeros cu√°nticos del sistema. Si el CCOC tienen espectro puntual entonces los n√ļmeros cu√°nticos pueden ser n√ļmeros enteros.

En el caso del √°tomo hidrogenoide \scriptstyle \{H,\ L,\ L_z,\ S_z\} (hamiltoniano, momento angular, componente Z del momento angular, esp√≠n del electr√≥n) forman un CCOC y de ah√≠ que s√≥lo sean necesarios cuatro n√ļmeros cu√°nticos \scriptstyle \{n,\ l,\ m,\ s\} para describir los estados estacionarios de dicho sistema.

N√ļmeros cu√°nticos aditivos y multiplicativos

En f√≠sica de part√≠culas diversas leyes de conservaci√≥n y simetr√≠as se expresan como suma o multiplicaci√≥n de n√ļmeros cu√°nticos. As√≠ en interacci√≥n de part√≠culas en las que existe cambio de identidades de las part√≠culas, v√≠a creaci√≥n o destrucci√≥n de part√≠culas:

  1. la suma de los n√ļmeros cu√°nticos aditivos de las part√≠culas antes y despu√©s de la interacci√≥n deben ser id√©nticos.
  2. el producto de los n√ļmeros cu√°nticos multiplicativos de las part√≠culas antes y despu√©s de la interacci√≥n deben ser id√©nticos.

Un ejemplo de n√ļmero cu√°ntico multiplicativo es el tipo paridad (\pm 1), cuando un sistema experimenta un cambio bajo alg√ļn tipo de interacci√≥n que cambia la paridad el resultado de multiplicar los diferentes multiplicandos asociados al tipo de paridad de cada parte del sistema debe quedar invariante.

Véase también

Referencias

Bibliografía


Wikimedia foundation. 2010.

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