Lógica proposicional

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Lógica proposicional

En l√≥gica, la l√≥gica proposicional es un sistema formal dise√Īado para analizar ciertos tipos de argumentos. En l√≥gica proposicional, las f√≥rmulas representan proposiciones y las conectivas l√≥gicas son operaciones sobre dichas f√≥rmulas, capaces de formar otras f√≥rmulas de mayor complejidad.[1] Como otros sistemas l√≥gicos, la l√≥gica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensi√≥n de la noci√≥n de consecuencia l√≥gica para el rango de argumentos que analiza.

Contenido

Introducción

Considérese el siguiente argumento:

  1. Ma√Īana es mi√©rcoles o ma√Īana es jueves.
  2. Ma√Īana no es jueves.
  3. Por lo tanto, ma√Īana es mi√©rcoles.

Es un argumento v√°lido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusi√≥n falsa. Esto no quiere decir que la conclusi√≥n sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusi√≥n tambi√©n podr√≠a serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusi√≥n tambi√©n lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones ¬ęma√Īana es mi√©rcoles¬Ľ y ¬ęma√Īana es jueves¬Ľ, porque √©stas podr√≠an cambiarse por otras y el argumento permanecer v√°lido. Por ejemplo:

  1. Est√° soleado o est√° nublado.
  2. No est√° nublado.
  3. Por lo tanto, est√° soleado.

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones ¬ęo¬Ľ y ¬ęno¬Ľ. Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podr√≠a ser que los argumentos dejaran de ser v√°lidos. Por ejemplo:

  1. Ni est√° soleado ni est√° nublado.
  2. No est√° nublado.
  3. Por lo tanto, est√° soleado.

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes l√≥gicas. La l√≥gica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas l√≥gicas. En cuanto a las expresiones como "est√° nublado" o "ma√Īana es jueves", lo √ļnico que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intenci√≥n es simbolizar una expresi√≥n con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. As√≠, los dos primeros argumentos de esta secci√≥n podr√≠an reescribirse as√≠:

  1. p o q
  2. No q
  3. Por lo tanto, p

Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:

  1. Ni p ni q
  2. No q
  3. Por lo tanto, p

Conectivas lógicas

Artículo principal: Conectiva lógica

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.

Conectiva Expresión en el
lenguaje natural
Ejemplo Símbolo en
este artículo
Símbolos
alternativos
Negación no No está lloviendo. \neg \, \sim \,
Conjunción y Está lloviendo y está nublado. \and \And \, .
Disyunción o Está lloviendo o está soleado. \or
Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día. \to \, \supset
Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles. \leftrightarrow \equiv \,
Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado. \downarrow \,
Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado. \nleftrightarrow \oplus, \not\equiv, W

En la l√≥gica proposicional, las conectivas l√≥gicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva l√≥gica no es una funci√≥n que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la funci√≥n no a una letra que represente una proposici√≥n falsa, el resultado ser√° algo verdadero. Si es falso que ¬ęest√° lloviendo¬Ľ, entonces ser√° verdadero que ¬ęno est√° lloviendo¬Ľ.

El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.

Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

\begin{array}{c||c}
      \phi & \neg \phi \\
      \hline
      V & F \\
      F & V \\
   \end{array}

\begin{array}{c|c||c}
      \phi & \psi & \phi \and \psi \\
      \hline
      V & V & V \\
      V & F & F \\
      F & V & F \\
      F & F & F \\
   \end{array}

\begin{array}{c|c||c}
      \phi & \psi & \phi \or \psi \\
      \hline
      V & V & V \\
      V & F & V \\
      F & V & V \\
      F & F & F \\
   \end{array}

\begin{array}{c|c||c}
      \phi & \psi & \phi \to \psi \\
      \hline
      V & V & V \\
      V & F & F \\
      F & V & V \\
      F & F & V \\
   \end{array}

\begin{array}{c|c||c}
      \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\
      \hline
      V & V & V \\
      V & F & F \\
      F & V & F \\
      F & F & V \\
   \end{array}

Límites de la lógica proposicional

La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:

  1. Todos los hombres son mortales.
  2. Sócrates es un hombre.
  3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Como este argumento no contiene ninguna de las conectvias ¬ęno¬Ľ, ¬ęy¬Ľ, ¬ęo¬Ľ, etc., seg√ļn la l√≥gica proposicional, su formalizaci√≥n ser√° la siguiente:

  1. p
  2. q
  3. Por lo tanto, r

Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.

Dos sistemas formales de lógica proposicional

A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción natural.

Sistema axiom√°tico

Alfabeto

El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en:

  • Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando sub√≠ndices cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "est√° lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".
  • Un conjunto de operadores l√≥gicos: \neg, \and, \or, \to, \leftrightarrow
  • Dos signos de puntuaci√≥n: los par√©ntesis izquierdo y derecho. Su √ļnica funci√≥n es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresi√≥n 2 + 2 √∑ 2, que puede significar tanto (2 + 2) √∑ 2, como 2 + (2 √∑ 2).

Gram√°tica

Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qu√© combinaciones de s√≠mbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gram√°tica formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas seg√ļn estas reglas se las llama f√≥rmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:

  1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas.
  2. Si \phi \, es una fórmula bien formada de L, entonces \neg \phi \, también lo es.
  3. Si \phi \, y \psi \, son fórmulas bien formadas de L, entonces (\phi \and \psi), (\phi \or \psi), (\phi \to \psi) \, y (\phi \leftrightarrow \psi) también lo son.
  4. S√≥lo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cl√°usulas 1 a 3 en un n√ļmero finito de pasos son f√≥rmulas bien formadas de L.

Seg√ļn estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de f√≥rmulas bien formadas:

p \,
\neg \neg \neg q \,
(p \and q)
\neg (p \and q)
(p \leftrightarrow \neg p)
((p \to q) \and p)
(\neg (p \and (q \or r)) \or s)

Y los siguientes son ejempos de f√≥rmulas mal formadas[cita requerida]:

Fórmula Error Corrección
(p) \, Sobran paréntesis p \,
\neg (p) \, Sobran paréntesis \neg p \,
(\neg p) \, Sobran paréntesis \neg p \,
p \to q \, Faltan paréntesis (p \to q) \,
(p \and q \to r) Faltan paréntesis ((p \and q) \to r) \,

Por otra parte, dado que la √ļnica funci√≥n de los par√©ntesis es desambiguar las f√≥rmulas, en general se acostumbra omitir los par√©ntesis externos de cada f√≥rmula, ya que estos no cumplen ninguna funci√≥n. As√≠ por ejemplo, las siguientes f√≥rmulas generalmente se consideran bien formadas:

p \and q
\neg p \to q \,
(p \and q) \or \neg q
(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (q \leftrightarrow p)

Otra convenci√≥n acerca del uso de los par√©ntesis es que las conjunciones y las disyunciones tienen ¬ęmenor jerarqu√≠a¬Ľ que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que dada una f√≥rmula sin par√©ntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparse antes que los condicionales materiales y los bicondicionales. Por ejemplo:

Fórmula Lectura correcta Lectura incorrecta
p \and q \to r \, (p \and q) \to r \, p \and (q \to r) \,
\neg p \leftrightarrow q \or r \, \neg p \leftrightarrow (q \or r) \, (\neg p \leftrightarrow q) \or r \,
p \and q \leftrightarrow r \or s \, (p \and q) \leftrightarrow (r \or s) \, (p \and (q \leftrightarrow r)) \or s \,

Estas convenciones son análogas a las que existen en el álgebra elemental, donde la multiplicación y la división siempre deben resolverse antes que la suma y la resta. Así por ejemplo, la ecuación 2 + 2 × 2 podría interpretarse como (2 + 2) × 2 o como 2 + (2 × 2). En el primer caso el resultado sería 8, y en el segundo caso sería 6. Pero como la multiplicación siempre debe resolverse antes que la suma, el resultado correcto en este caso es 6, no 8.

Axiomas

Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de f√≥rmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas est√°ndar es el que descubri√≥ Jan ŇĀukasiewicz:

  • (\phi \to (\psi \to \phi)) \,
  • ((\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))) \,
  • ((\neg \phi \to \neg \psi) \to (\psi \to \phi)) \,

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una funci√≥n que va de conjuntos de f√≥rmulas a f√≥rmulas. Al conjunto de f√≥rmulas que la funci√≥n toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la f√≥rmula que devuelve como valor se la llama conclusi√≥n. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusi√≥n. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusi√≥n falsa. En el caso de L, la √ļnica regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:

(\phi \to \psi), \phi \vdash \psi

Recordando que \phi \, y \psi \, no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada.

Ejemplo de una demostración

A demostrar: \phi \to \phi \,
Paso Fórmula Razón
1 \phi \to (\phi \to \phi) \, Instancia del primer axioma.
2 \phi \to ((\phi \to \phi) \to \phi) \, Instancia del primer axioma.
3 \Big( \phi \to ((\phi \to \phi) \to \phi) \Big) \to \Big( (\phi \to (\phi \to \phi)) \to (\phi \to \phi) \Big) Instancia del segundo axioma.
4 \Big( (\phi \to (\phi \to \phi)) \to (\phi \to \phi) \Big) Desde (2) y (3) por modus ponens.
5 \phi \to \phi \, Desde (1) y (4) por modus ponens. QED

Deducción natural

Artículo principal: Deducción natural

Un sistema de lógica proposicional también puede construirse a partir de un conjunto vacío de axiomas. Para ello se especifican una serie de reglas de inferencia que intentan capturar el modo en que naturalmente razonamos acerca de las conectivas lógicas.

  • Introducci√≥n de la negaci√≥n:
Si suponer \phi \, lleva a una contradicción, entonces se puede inferir que \neg \phi \, (reducción al absurdo).
  • Eliminaci√≥n de la negaci√≥n:
\neg \neg \phi \vdash \phi
  • Introducci√≥n de la conjunci√≥n:
\phi, \psi \vdash (\phi \and \psi)
\phi, \psi \vdash (\psi \and \phi)
  • Eliminaci√≥n de la conjunci√≥n:
(\phi \and \psi) \vdash \phi
(\phi \and \psi) \vdash \psi
  • Introducci√≥n de la disyunci√≥n:
\phi \vdash (\phi \or \psi)
\phi \vdash (\psi \or \phi)
  • Eliminaci√≥n de la disyunci√≥n:
(\phi \or \psi), (\phi \to \chi), (\psi \to \chi) \vdash \chi
Si suponer \phi \, lleva a una prueba de \psi \,, entonces se puede inferir que (\phi \to \psi) \,.
  • Eliminaci√≥n del condicional (modus ponens):
(\phi \to \psi), \phi \vdash \psi
  • Introducci√≥n del bicondicional:
(\phi \to \psi), (\psi \to \phi) \vdash (\phi \leftrightarrow \psi)
(\phi \to \psi), (\psi \to \phi) \vdash (\psi \leftrightarrow \phi)
  • Eliminaci√≥n del bicondicional:
(\phi \leftrightarrow \psi) \vdash (\phi \to \psi)
(\phi \leftrightarrow \psi) \vdash (\psi \to \phi)

Ejemplo de una demostración

A demostrar: \phi \to \phi \,
Paso Fórmula Razón
1 \phi \, Supuesto.
2 \phi \or \phi Desde (1) por introducción de la disyunción.
3 (\phi \or \phi) \and \phi Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4 \phi \, Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5 \phi \vdash \phi Resumen de (1) hasta (4).
6 \vdash \phi \to \phi Desde (5) por introducción del condicional. QED

Lenguaje formal en la notación BNF

El lenguaje formal de la lógica proposicional se puede generar con la gramática formal descrita usando la notación BNF como sigue:


\begin{array}{rcl}
\langle Bicondicional \rangle & ::= & \langle Condicional \rangle \leftrightarrow \langle Bicondicional \rangle \mid \langle Condicional \rangle
\\
\langle Condicional \rangle & ::= & \langle Conjuncion \rangle \leftrightarrow \langle Condicional \rangle \mid \langle Conjuncion \rangle
\\
\langle Conjuncion \rangle & ::= & \langle Disyuncion \rangle \vee \langle Conjuncion \rangle \mid\langle Disyuncion \rangle
\\
\langle Disyuncion \rangle & ::= & \langle Literal \rangle \wedge \langle Disyuncion \rangle \mid \langle Literal \rangle
\\
\langle Literal \rangle & ::= & \langle Atomo \rangle \mid \neg \langle Atomo \rangle
\\
\langle Atomo \rangle & ::= & \top \mid \bot \mid \langle Letra \rangle \mid \langle Agrupacion \rangle
\\
\langle Agrupacion \rangle & ::= & ( \langle Bicondicional \rangle ) \mid [ \langle Bicondicional \rangle ] \mid \{ \langle Bicondicional \rangle \}
\end{array}

La gram√°tica anterior define la precedencia de operadores de la siguiente manera:

  1. Negación (\neg \,)
  2. Conjunción (\and \,)
  3. Disyunción (\or \,)
  4. Condicional material (\to \,)
  5. Bicondicional (\leftrightarrow)

Sem√°ntica

Una interpretaci√≥n para un sistema de l√≥gica proposicional es una asignaci√≥n de valores de verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignaci√≥n usual de significados para los operadores l√≥gicos. A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o V (verdadero) o F (falso). Esto quiere decir que si hay n variables proposicionales en el sistema, el n√ļmero de interpretaciones distintas es de 2n.

Partiendo de esto es posible definir una cantidad de nociones sem√°nticas. Si A y B son f√≥rmulas cualquiera de un lenguaje L, őď es un conjunto de f√≥rmulas de L, y M es una interpretaci√≥n de L, entonces:

  • A es verdadera bajo la interpretaci√≥n M si y s√≥lo si M asigna el valor de verdad V a A.
  • A es falsa bajo la interpretaci√≥n M si y s√≥lo si M asigna el valor de verdad F a A.
  • A es una tautolog√≠a (o una verdad l√≥gica) si y s√≥lo si para toda interpretaci√≥n M, M asigna el valor de verdad V a A.
  • A es una contradicci√≥n si y s√≥lo si para toda interpretaci√≥n M, M asigna el valor de verdad F a A.
  • A es consistente (o satisfacible) si y s√≥lo si existe al menos una interpretaci√≥n M que asigne el valor de verdad V a A.
  • őď es consistente si y s√≥lo si existe al menos una interpretaci√≥n que haga verdaderas a todas las f√≥rmulas en őď.
  • A es una consecuencia sem√°ntica de un conjunto de f√≥rmulas őď si y s√≥lo si para toda f√≥rmula B que pertenezca a őď, no hay ninguna interpretaci√≥n en que B sea verdadera y A falsa. Cuando A es una consecuencia sem√°ntica de őď en un lenguaje L, se escribe: \Gamma \models_L A.
  • A es una f√≥rmula l√≥gicamente v√°lida si y s√≥lo si A es una consecuencia sem√°ntica del conjunto vac√≠o. Cuando A es una f√≥rmula l√≥gicamente v√°lida de un lenguaje L, se escribe: \models_L A.

Tablas de verdad

Artículo principal: Tablas de verdad

La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la fórmula y el valor de verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula \neg (p \or q) \to (p \to r) sería:


\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}
p & q & r & (p \or q) & \neg (p \or q) & (p \to r) & \neg (p \or q) \to (p \to r) \\
\hline
V & V & V & V & F & V & V \\
V & V & F & V & F & F & V \\
V & F & V & V & F & V & V \\
V & F & F & V & F & F & V \\
F & V & V & V & F & V & V \\
F & V & F & V & F & V & V \\
F & F & V & F & V & V & V \\
F & F & F & F & V & V & V \\
\hline
\end{array}

Como se ve, esta f√≥rmula tiene 2n interpretaciones posibles ‚ÄĒuna por cada l√≠nea de la tabla‚ÄĒ, donde n es el n√ļmero de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautolog√≠a, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el valor de verdad de la f√≥rmula completa termina siendo V.

Formas normales

A menudo es necesario transformar una fórmula en otra, sobre todo transformar una fórmula a su forma normal. Esto se consigue transformando la fórmula en otra equivalente y repitiendo el proceso hasta conseguir una fórmula que sólo use los conectivos básicos (\and, \or, \neg). Para lograr esto se utilizan las equivalencias lógicas:

(p \to q) \leftrightarrow (\neg p \or q)
(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow [(\neg p \or q) \and (\neg q \or p)]

Por ejemplo, considérese la siguiente fórmula:

(p \to q) \and (\neg q \leftrightarrow p)

La misma puede desarrollarse así:

(\neg p \or q) \and (q \or p) \and (\neg p \or \neg q)

Se dice que una fórmula está en forma normal disyuntiva (FND) si y sólo si tiene la siguiente forma:

A_1 \or A_2 \or ... \or A_n

donde cada A es una conjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal disyuntiva:

p \or (q \and s) \or (\neg q \and p)

Se dice que una fórmula está en forma normal conjuntiva (FNC) si y sólo si tiene la siguiente forma:

A_1 \and A_2 \and ... \and A_n

donde cada A es una disjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal conjuntiva:

p \and (q \or s) \and (\neg q \or p)

Por las leyes de De Morgan, es posible pasar de una forma normal disyuntiva a una forma normal conjuntiva y viceversa:

\neg (A \or B) \leftrightarrow (\neg A \and \neg B)
\neg (A \and B) \leftrightarrow (\neg A \or \neg B)

Las FNC y FND son mutuamente duales. La demostración hace uso de las leyes de De Morgan y de la propiedad distributiva de la conjunción y la disyunción. Se debe cumplir que:

\neg [(A_1 \and B_1) \or (A_2 \and B_2) \or ... \or (A_n \and B_n)] \leftrightarrow [(\neg A_1 \or \neg B_1) \and (\neg A_2 \or \neg B_2) \and ... \and (\neg A_n \or \neg B_n)]

Y viceversa:

\neg [(A_1 \or B_1) \and (A_2 \or B_2) \and ... \and (A_n \or B_n)] \leftrightarrow [(\neg A_1 \and \neg B_1) \or (\neg A_2 \and \neg B_2) \or ... \or (\neg A_n \and \neg B_n)]

La lógica proposicional y la computación

Debido a que los computadores trabajan con informaci√≥n binaria, la herramienta matem√°tica adecuada para el an√°lisis y dise√Īo de su funcionamiento es el √Ālgebra de Boole. El √Ālgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la l√≥gica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon public√≥ un libro llamado "An√°lisis simb√≥lico de circuitos con rel√©s", estableciendo los primeros conceptos de la actual teor√≠a de la conmutaci√≥n, cuando se ha producido un aumento considerable en el n√ļmero de trabajos de aplicaci√≥n del √Ālgebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en d√≠a, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el an√°lisis y s√≠ntesis de combinaciones complejas de circuitos l√≥gicos puede realizarse con rapidez.

Aristóteles con respecto al estudio de la lógica

La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es así que se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina. Partiendo de que corresponde a Aristóteles haber sido el primero en tratar con todo detalle la lógica, se le considera pues ser su fundador. En un principio se llamó Analítica, en virtud del título de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles relativos a estos eventos fueron recopilados por sus discípulos con el título de Organon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad.

Aristóteles se planteo cómo es posible probar y demostrar que un conocimiento es verdadero, es decir, que tiene una validez universal. Aristóteles encuentra el fundamento de la demostración en la deducción, procedimiento que consiste en derivar un hecho particular de algo universal. La forma en que se afecta esa derivación es el silogismo, por cuya razón la silogística llega a ser el centro de la lógica aristotélica.

Véase también

Notas y referencias

  1. ‚ÜĎ Simon Blackburn, ed., ¬ępropositional calculus¬Ľ (en ingl√©s), Oxford Dictionary of Philosophy, Oxford University Press, http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t98.e2552, consultado el 13 de agosto de 2009 

Bibliografía adicional

  • Enderton, H. B. (1972). A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press. 
  • Hamilton, A. G. (1981). L√≥gica para matem√°ticos. Paraningo. 
  • Mendelson, E. (1997). Introduction to Mathematical Logic (4¬™ edici√≥n). Chapman and May. 
  • Pla, J. (1991). Lli√ßons de l√≥gica matem√°tica. P.P.U.. 
  • Badesa, C.; Jan√©, I.; Jansana, R. (1998). Elementos de l√≥gica formal. Ariel. 
  • Barnes, D. W.; Mack, J. M. (1978). Una introducci√≥n algebraica a la l√≥gica matem√°tica. Eunibar. 
  • Bridge, J. (1977). Beginning Model Theory. Oxford University Pres. 
  • Ershov, Y.; Paliutin, E. (1990). L√≥gica matem√°tica. Mir. 
  • Hofstadter, D. (1987). G√∂del, Escher, Bach: un Eterno y Gr√°cil Bucle. Tusquets Editores. 
  • Jan√©, I. (1989). √Ālgebras de Boole y l√≥gica. Publicaciones U.B.. 
  • Monk, J. D. (1976). Mathematical Logic. Springer-Verlag. 
  • Nidditch, P. H. (1978). El desarrollo de la l√≥gica matem√°tica. C√°tedra. 
  • Van Dalen, D. (1983). Logic and Structure (2¬™ edici√≥n). Universitext, Springer-Verlag. 

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.


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