Teorema de Taylor

La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Contenido

Caso de una variable

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si \ n ≥ 0 es un entero y \ f una función que es derivable \ n veces en el intervalo cerrado [\ a, \ x] y \ n+1 veces en el intervalo abierto (\ a, \ x), entonces se cumple que:[1]

(1a) 
  f(x) = f(a)
  + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
  + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
  + R_n(f)

O en forma compacta

(1b)  f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R_n(f)

Donde \ k! denota el factorial de \ k, y R_n(f)\, es el resto, término que depende de \ x y es pequeño si \ x está próximo al punto \ a. Existen dos expresiones para \ R que se mencionan a continuación:

(2a) 
R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

donde \ a y \ x, pertenecen a los números reales, \ n a los enteros y \ \xi es un número real entre \ a y \ x:[2]

(2b) 
R_n(f) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt

Si R_n(f)\, es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones \ f(x), se puede probar que el resto, \ R_n(f), se aproxima a cero cuando \ n se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto \ a y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con \ R_n(f) expresado de la segunda forma es también válido si la función \ f tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Caso de varias variables

El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura \bar{B} cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier x\in B:

f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|

para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

Demostración

Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función f: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase C^{\infty}. Sea r(t) una función vectorial que va de \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}, y definámosla como r(t)=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{u}t) (de ahora en adelante, se omitirán las flechas de los vectores). Pongamos r(t) = y Ahora hagamos g(t) = f[r(t)] y recordemos que g^{\prime}(t)=\nabla f(y)r^{\prime}(t). Notemos ahora que:

g^{''}(t)=u_{1}[D_{11}f(y)u_{1}+..+D_{1n}f(y)u_{n}]+....+u_{n}[D_{n1}f(y)u_{1}+..+D_{nn}f(y)u_{n}]=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^{2}f(y)}{\partial x_{j}\partial x_{i}}u_{j}u_{i}

Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:

g^{n}(t)=(\nabla f(y)u)^{n}

donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el producto escalar que está dentro del paréntesis, luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos g(t) en su serie de McLaurin: g(t)=g(0)+g^{'}(0)t+\dfrac{g^{''}(0)}{2!}t^{2}...=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{g^{k}(0)}{k!}t^{k} y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que: f(a+u)=f(a)+\nabla f(a)u+\dfrac{(\nabla f(a)u)^{2}}{2!}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(\nabla f(a)u)^{n}}{k!} Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda y compacta. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.

Demostración

La demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:

F(y) = f(x) - f(y) - \frac{f'(y)}{1!}(x-y) - \dots - \frac{f^{(n)}(y)}{n!}(x-y)^n

Un cálculo rutinario permite ver la derivada de esta función cumple que:

F'(y) = -\frac{f^{(n+1)}(y)}{n!}(x-y)^n

Se define ahora la función G como:

G(y) = F(y) - \left(\frac{x-y}{x-a}\right)^{n+1}F(a)

Es evidente que esta función cumple \scriptstyle G(a) = G(x) = 0, y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

\exist \xi\in(x,a): G'(\xi) = 0

Y como:

0 = G'(\xi) = F'(\xi)-(n+1) \frac{(x-\xi)^n}{(x-a)^{n+1}}F(a)

Se obtiene finalmente que:

F(a) -\frac{1}{n+1} \frac{(x-a)^{n+1}}{(x-\xi)^n}F'(\xi) =
F(a)-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).

Referencia

  1. Bartle & Sherbert, p. 238-239
  2. Bartle & Sherbert, p. 290-291

Bibliografía

  • R. G. Bartle & D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable', Ed. Limusa, 1990, ISBN 968-18-1725-7.

Wikimedia foundation. 2010.

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