Teorema de Wilson

En matemáticas, el teorema de Wilson es un teorema clásico relacionado con la divisibilidad. Se enuncia de la siguiente manera:

Si p es un número primo, entonces (p − 1)!+1 ≡ 0 (mod p)


John Wilson


El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número n>1 es primo si y sólo si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson).

Contenido

Historia

Fue atribuido a John Wilson por Edward Waring, quien en 1770 realizó un comentario acerca de que Wilson había dejado anotado el resultado. No hay evidencia de que Wilson hubiese hallado la demostración, y ciertamente Waring no la halló. Fue Lagrange quien, en 1771 dio la primera demostración. Con toda propiedad, el teorema debe ser atribuido a Abu 'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, llamado en Occidente Alhazen, quien lo formuló a comienzos del siglo XI.

Demostración

Usando teoría de grupos

Esta demostración usa el hecho de que si p es un número primo, entonces el conjunto de números G = (Z/pZ)× = {1, 2, ... p − 1} forma un grupo bajo la multiplicación. Esto significa que para cada elemento a de G, hay un único inverso multiplicativo b en G tal que ab ≡ 1 (mod p). Si ab (mod p), entonces a2 ≡ 1 (mod p), que se puede factorizar en a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) ≡ 0 (mod p), y puesto que p es primo, entonces a ≡ 1 o −1 (mod p), por ejemplo a = 1 o a = p − 1.

En otras palabras, 1 y p − 1 son cada uno su propio inverso, pero para cualquier otro elemento de G hay un inverso, también en G, así que si tomamos todos los elementos de G por parejas y los multiplicamos todos ellos juntos, el producto será igual a −1 (módulo p). Por ejemplo, si p = 11, tenemos que:

10! = 1(10)(2 \cdot 6)(3 \cdot 4)(5 \cdot 9)(7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11).\,

Las propiedades conmutativas y asociativas son usadas en el procedimiento de arriba. Todos los elementos en el producto anterior serán de la forma g g −1 ≡ 1 (mod p) excepto 1 (p − 1), que están al principio del producto.

Si p = 2, el resultado es trivial e inmediato.

Para demostrar el inverso del teorema (ver siguiente sección), supóngase que la congruencia se cumple para un número compuesto n, nótese entonces que n tiene un divisor propio d con 1 < d < n. Claramente, d divide a (n − 1)! pero por la congruencia, d también divide a (n − 1)! + 1, así que d divide a 1, con lo que se llega a una contradicción.

Usando polinomios

Sea p un número primo. Consideremos el polinomio

g(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-(p-1)).\,

Recordemos que si f(x) es un polinomio no nulo de grado d sobre un cuerpo F, entonces f(x) tiene un máximo de d raíces en F, y recordemos que el conjunto de todos los restos módulo un primo, con las operaciones de suma y multiplicación, es un cuerpo. Ahora, siendo g(x)

f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1).\,

Puesto que los coeficientes de mayor orden se cancelan, f(x) es un polinomio de grado p − 2 como mucho. Por tanto, si tomamos restos módulo p, f(x) tendrá a lo sumo p − 2 raíces módulo p. Sin embargo, a la vista de la definición de f(x), del pequeño teorema de Fermat se sigue que cada elemento 1, 2, ..., p − 1 es una raíz de f(x) (por lo que, a fortiori, es una raíz de f(x) módulo p). Esto es imposible a menos que f(x) sea idénticamente cero módulo p, esto es, a menos que cada coeficiente de f(x) sea divisible por p.

Dado que el término constante de f(x) es justamente (p − 1)! + 1,

Inverso

El inverso del teorema de Wilson dice que para cualquier número compuesto n > 5,

n divide a (n − 1)!.

Se deja el caso n = 4, para el cual 3! no es divisible por 4 (es únicamente divisible por 2).

En efecto, si q es un factor primo de n, de tal manera que n = qa, los números

1, 2, ..., n − 1

incluyendo a − 1 múltiplos de q. Por lo tanto, las potencias de q que dividen al factorial son al menos n/q − 1; y las potencias que dividen a n son a lo máximo

log n/log q.

La inecuación

log n/log qn/q − 1

se cumple en general, excepto para el caso q = 2 y n = 4.

Test de primalidad

El teorema de Wilson no se utiliza como test de primalidad en la práctica, ya que para calcular (n − 1)! modulo n para un número n grande es costoso (computacionalmente hablando), y se conocen tests más sencillos y rápidos.

Usando el teorema del Wilson, se tiene que para cada número primo p:

1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)
1\cdot(p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots n\cdot (p-n)\ \equiv\ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots n\cdot (-n)\ \equiv\  -1\ (\mbox{mod}\ p)

donde p = 2n + 1. Esto se convierte en

\prod_{j=1}^n\ j^2\ \equiv(-1)^{n+1}\ (\mbox{mod}\ p).

Así, la primalidad del número se determina mediante los residuos cuadráticos de p. Esto se puede usar de hecho para probar parte de otro famoso resultado: −1 es un cuadrado (residuo cuadrático) mod p si p ≡ 1 (mod 4). Para la suposición, p = 4k + 1 para algún entero k. Entonces, tomando n = 2k y sustituyendo, se concluye que:

\left( \prod_{j=1}^{2k}\ j \right)^{2} = \prod_{j=1}^{2k}\ j^2\ \equiv (-1)^{2k+1}\ = -1(\mbox{mod}\ p).

El teorema de Wilson ha sido utilizado para generar fórmulas para los primos, pero es demasido lento como para tener valor práctico.

Generalización

El teorema de Wilson se puede generalizar, como mostró Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae:


\prod_{1 \le a < n \atop (a,n)=1} \!\!a \ \equiv \ \left \{ \begin{matrix} -1\ (\mbox{mod }n) & \mbox{si } n=4,\;p^k,\;2p^k \\ \ \ 1\ (\mbox{mod }n) & \mbox{en otro caso} \end{matrix} \right.

donde p es un número primo impar, y k \in \left \{0,1,2,...\right \}. El teorema se generaliza más por el hecho de que en cualquier grupo abeliano finito, ya sea el producto de todos los elementos es la identidad, o precisamente hay un elemento a de orden 2. En este último caso, el producto de todos los elementos es igual a.

Véase también

Referencias

Reid,Constance - From Zero To Infinity


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Teorema de Wilson — Enunciado si es primo, entonces es divisible por …   Enciclopedia Universal

  • Wilson's theorem — In mathematics, Wilson s theorem states that a natural number n > 1 is a prime number if and only if (see factorial and modular arithmetic for the notation). Contents 1 History 2 Proofs …   Wikipedia

  • Teorema de Bell — El teorema de Bell o desigualdades de Bell se aplica en mecánica cuántica para cuantificar matemáticamente las implicaciones planteadas teóricamente en la paradoja de Einstein Podolsky Rosen y permitir así su demostración experimental. Debe su… …   Wikipedia Español

  • Teorema de clasificación de grupos simples — En teoría de grupos, el teorema de clasificación de grupos simples, se diseñó para clasificar todos los grupos simples finitos. Estos grupos pueden ser vistos como los bloques que construyen todos los grupos finitos, al mismo modo que los números …   Wikipedia Español

  • Teorema de los cuatro colores — Ejemplo de mapa coloreado con cuatro colores. Mapa …   Wikipedia Español

  • Wilson, John — ► (1741 93) Matemático británico. Enunció el teorema que lleva su nombre, el cual establece que un número natural p es primo si y solo si divide a (p 1)! + 1 …   Enciclopedia Universal

  • Número primo de Wilson — Un número primo de Wilson o número de Wilson, llamado así en honor al matemático John Wilson, es un tipo de primo p tal que p² divide a (p − 1)! + 1, donde «!» denota la función factorial. Tiene cierta similitud con el teorema de Wilson, el cual… …   Wikipedia Español

  • Número primo — Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número …   Wikipedia Español

  • Disquisitiones arithmeticae — Saltar a navegación, búsqueda Página del título en la primera edición Disquisitiones Arithmeticae es un libro de teoría de números escrito por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando tenía 21 a …   Wikipedia Español

  • Joseph-Louis de Lagrange — Para otros usos de este término, véase Lagrange (desambiguación). Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas …   Wikipedia Español


Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.