Triangulación

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Triangulación

La triangulación, en geometría, es el uso de la trigonometría de triángulos para determinar posiciones de puntos, medidas de distancias o áreas de figuras.

En geodesia, se emplea para determinar los puntos singulares de un territorio, mediante el cálculo exacto de los vértices geodésicos, con sistemas de triángulos muy grandes, llamados redes de triangulación. También se utiliza en topografía.

Cálculo de distancias mediante triangulación.

Contenido

Historia

Triangulaci√≥n. Liu Hui (c. 263): ¬ŅC√≥mo se mide la altura de una isla del mar? Ilustraci√≥n de una edici√≥n de 1726.
Atlas de Cresques, 1375: Baleares y costa mediterránea ibérica.
Red de triangulación de Renania-Hesse. Siglo XIX.

El m√©todo de la triangulaci√≥n para calcular las distancias se remonta a la antig√ľedad. En el Antiguo Egipto esta t√©cnica ya era conocida a principios del II milenio a. C., pues en el problema 57 del papiro Rhind, se describe el seqt o seked como la pendiente (hipotenusa) de un tri√°ngulo rect√°ngulo, definido como la relaci√≥n de dos n√ļmeros enteros (catetos). Tales, en el siglo VI a. C., emplea tri√°ngulos semejantes para calcular la altura de las pir√°mides de Egipto, midiendo la longitud de sus sombras y compar√°ndolas con su propia sombra. Her√≥n de Alejandr√≠a (siglo I), determina la longitud de una distancia triangulando y utiliza un instrumento que se conoce como el dioptra de Her√≥n.

En China, Pei Xiu (224-271), en el quinto de sus seis principios, identificó la medición de los ángulos rectos y agudos para un adecuado trazado de mapas, necesario para establecer con precisión las distancias; mientras que Liu Hui (c. 263) da una versión del cálculo anterior, para la medición de las distancias perpendiculares a lugares inaccesibles.

Los m√©todos de triangulaci√≥n utilizados por los agrimensores se introdujeron en la Espa√Īa medieval a trav√©s de varios tratados √°rabes sobre el astrolabio, como el de Ibn al-Saffar (‚Ć 1035). Tambi√©n AbŇę Rayhan Biruni (‚Ć 1048) introdujo las t√©cnicas de triangulaci√≥n para medir el tama√Īo de la Tierra y las distancias entre diversos lugares, aunque dichos m√©todos parecen haber llegado lentamente al resto de Europa. El astr√≥nomo Tycho Brahe aplic√≥ el m√©todo en Escandinavia, triangulando en 1579 la isla de Hven. Lo emplearon los ingleses William Cunningham Cosmographical Glasse (1559), Valentine Leigh Treatise of Measuring All Kinds of Lands (1562), William Bourne Rules of Navigation (1571), Thomas Digges Geometrical Practise named Pantometria (1571), y John Norden Surveyor's Dialogue (1607).

Cartografía mediante triangulación

En Espa√Īa, el portulano m√°s antiguo se data en 1296, y son t√≠picos de los siglos XIV y XV. El cart√≥grafo holand√©s Gemma Frisius propuso utilizar la triangulaci√≥n para determinar con exactitud la posici√≥n de lugares lejanos en su escrito de 1533 Libellus de Locorum describendorum ratione.

Las modernas redes de triangulación

El uso sistem√°tico de las modernas redes de triangulaci√≥n deriva de los trabajos del matem√°tico holand√©s Willebrord Snell, quien en 1615 estudi√≥ la distancia de Alkmaar a Bergen-op-Zoom, aproximadamente 70 millas (110 kil√≥metros), utilizando un conjunto de 33 tri√°ngulos. Las dos ciudades estaban separadas un grado sobre el meridiano, y con su medici√≥n fue capaz de calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra -una haza√Īa que celebra en el t√≠tulo de su libro Erat√≥stenes Batavus (Los Erat√≥stenes holandeses), publicado en 1617. Snell calcul√≥ la forma de corregir las f√≥rmulas para adaptarlas a la curvatura de la Tierra.

Con los m√©todos de Snell, Jean Picard en 1669-70, mide un grado de latitud a lo largo del meridiano de Par√≠s mediante encadenando trece tri√°ngulos que se extend√≠an desde el norte de Par√≠s a La torre del reloj de Sourdon, cerca de Amiens. Gracias a las mejoras en los instrumentos y su exactitud, es calificada como la primera medici√≥n razonablemente precisa del radio de la Tierra. Entre 1683 y 1718 Jean-Dominique Cassini y su hijo Jacques Cassini miden, sobre el meridiano de Par√≠s, desde Dunquerque a Perpi√Ī√°n, y entre 1733 y 1740, Jacques y su hijo C√©sar Cassini llevan a cabo la primera triangulaci√≥n de todo el pa√≠s, incluyendo un nuevo estudio del meridiano, lo que lleva a la publicaci√≥n en 1745 del primer mapa de Francia, construido sobre principios rigurosos.

A finales del siglo XVIII otros países comenzaron a establecer medidas con redes de triangulación para obtener mapas de sus países. La Principal Triangulation of Britain se inició por la Ordnance Survey en 1783, aunque no se terminó hasta 1853. El Gran Trigonometric Survey de la India, que cartografió el Monte Everest y los otros picos del Himalaya, se inició en 1801.

Actualmente, las redes de triangulaci√≥n a gran escala han sido sustituidas por el Sistema global de navegaci√≥n por sat√©lite (GNSS), establecidos desde la d√©cada de 1980. Sin embargo, muchos de los puntos de control de los anteriores estudios a√ļn perduran como valiosos elementos hist√≥ricos del paisaje, tales como los pilares de hormig√≥n establecidos para retriangulaci√≥n de Gran Breta√Īa (1936-1962), o los puntos de triangulaci√≥n del arco geod√©sico de Struve (1816-1855), proclamados por la UNESCO Patrimonio de la Humanidad.

Triangulación geodésica.
En posición B, se pueden calcular las coordenadas usando los puntos conocidos P1, P2 y P3 en un plano horizontal. Medir la distancia r1 se pone en un círculo. Medir r2 se pone en dos puntos A o B. Medir la tercera distancia r3, le da las coordenadas del punto B. Eso se conoce como resección o trilateración.

Triangulación de superficies

La triangulación de superficies es un método de obtener áreas de figuras poligonales, normalmente irregulares, mediante su descomposición en formas triangulares. Lógicamente, la suma de las áreas de los triángulos da como resultado el área total.

El área de un triángulo se halla mediante la siguiente ecuación:

S =\frac{bh}{2} = \frac{base \cdot altura}{2}

siendo S la superficie, b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a dicha base.

Triangulación geodésica

Mediante triangulación, se pueden obtener las coordenadas de un punto no accesible B (el barco de la imagen). Primero, se calcula la distancia (A-C) existente entre dos puntos accesibles de la costa (cuyas coordenadas son A y C). Si medimos la amplitud de los ángulos de vértices (A) y (C), mediante trigonometría, obtendremos las distancias (A-B) y (C-B) y, por tanto, las coordenadas del tercer punto no accesible: B.

Resección: también en geodesia, conocidas las distancias a tres puntos y sus coordenadas, mediante trigonometría, se puede determinar las coordenadas del punto del observador.

Triangulación mediante GPS

En este contexto, la triangulaci√≥n mediante GPS consiste en averiguar la distancia de cada una de las tres se√Īales respecto al punto de medici√≥n. Conocidas las tres distancias se determina f√°cilmente la propia posici√≥n relativa respecto a los tres sat√©lites. Adem√°s es indispensable conocer las coordenadas o posici√≥n de cada uno de los sat√©lites. De esta forma se obtiene la posici√≥n absoluta o coordenadas reales del punto de medici√≥n.

Véase también

Referencias

  • El apartado de Historia, esta parcialmente basado en el art√≠culo de wikipedia en ingl√©s. (11-04-09)

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • triangulaci√≥n ‚ÄĒ 1. f. Arq. y Geol. Operaci√≥n de triangular. 2. Arq. y Geol. Conjunto de datos obtenidos mediante esa operaci√≥n ‚Ķ   Diccionario de la lengua espa√Īola

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