Operación externa

Se dice que esta Operación matemática es una operación externa o una Ley de composición externa si la aplicación entre los conjuntos es de la forma:

  1.  f : \; B \times A \to A \;
  2.  f : \; A \times A \to B \;

siendo  \star la operación binaria, que representamos:

 a \star b \; \to \; c
 \star (a, b ) \; \to \; c
 (a, b ) \; \xrightarrow{ \star} \; c

por oposición a la forma de la aplicación:

 f : \; A \times A \to A \;
 \circ (a, b ) \; \to \; c

Donde a cada par ordenado (a,b) le corresponde un c, siendo a, b y c elementos de A. Que se denomina Operación interna o ley de composición interna.

Contenido

Primer caso

Dada una Operación binaria de la forma:

 f : \; B \times A \to A \;

donde a cada par ordenado:

 (k,a) \in B \times A \;

se le asocia un elemento

 b \in A

Esta operación se denomina externa.

Ejemplo

Tomando el conjunto R de números reales, y el conjunto V3 de los vectores de tres dimensiones, y la operación del producto de un escalar por un vector:

 \cdot : \; \R \times V_3 \to V_3 \;

donde un vector:

 \vec{v}=(x,y,z)

multiplicado por un escalar k de R:

 
k \cdot \vec{v} =
k \cdot (x, y, z) =
(kx, ky, kz)

Segundo caso

Dada una operación binaria de la forma:

 f : \; A \times A \to B \;

donde a cada par ordenado:

 (a,b) \in A^2 \;

le corresponde un elemento:

 c \in B

también es una operación externa.

Ejemplo

Dado el conjunto V3 de vectores en el espacio y el conjunto R de números reales, y la operación Producto escalar de vectores:

 \circ : \; V_3 \times V_3 \to \R \;

Cuya operación representamos:

 \vec{a} \circ \vec{b} = c

dados los vectores:

 \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)
 \vec{b} = (b_x, b_y, b_z)

el producto escalar de los dos vectores es:


   \vec{a} \circ \vec{b} =
   (a_x, a_y, a_z) \circ (b_x, b_y, b_z) =
   a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z

que es un valor real.

La diferencia de números naturales, es una operación externa, dado que cuando el minuendo es menor que el sustraendo el resultado no es un numero natural, pero si un número entero:

 - : \; \N \times \N \to \Z \;

Que se representa normalmente:

 a - b = c \;

O también puede representarse:

 -(a, b) = c \;

Para todo par ordenado (a,b) de números naturales la correspondencia con un número c, entero, siendo c = a-b, es una aplicación matemática. Al ser a, b números naturales y c entero, la operación es externa.

Sin embargo la diferencia de números enteros es una operación interna, dado que sean cuales sean los operandos enteros el resultado siempre es entero.

 - : \; \Z \times \Z \to \Z \;

En la forma de la operación:

 a - b = c \;

Para todo par ordenado (a,b) de números enteros, a su diferencia le corresponde un número c, entero, siendo c = a-b, es una aplicación matemática. Al ser a, b y c del mismo conjunto, la operación es interna en ese conjunto.

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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