Grupo de isometría

El grupo de isometría de un conjunto está formado por todas las transformaciones geométricas formado por traslaciones, rotaciones y reflexiones que no alteran las distancias de un conjunto.

En un grupo de isometría, la operación de grupo viene dada por la composición de isometrías, y el inverso de una transformación o operación de simetría es precisamente la operación de deshacer dicha operación.


Contenido

Grupo de isometría del espacio euclídeo

En el espacio euclídeo \R^n podemos definir varias operaciones que no alteran las distancias. Así por ejemplo si consideramos un objeto dentro del espacio euclídeo podemos transportarlo a otra posición y cambiar su orientación. Así el grupo de isometría está formado por:

  • Las traslaciones o conjunto de aplicaciones de la forma:
  • Las rotaciones, que pueden representarse matemáticamente el conjunto de aplicaciones de la forma: \mathbf{y}=R\mathbf{x}, donde R\, es una matriz de determinante 1 que cumple R^{-1}=R^T\,

A estas transformaciones podemos sumarle una transformación más abstracta que no podemos realizar con objetos físicos reales pero sí abstractametne sobre conjuntos del espacio, formada por:

  • Las reflexiones y las composiciones de diversas reflexiones. Una reflexión puede representarse por una matriz de determinante -1.

El conjunto de todas las rotaciones y reflexiones forma un subgrupo muy importante del grupo de isometrías, llamado grupo ortonormal y designado como O(n)\, está formado

Grupo de isometría de figuras geométricas

Transformaciones que forman el grupo diédrico D4

Si una figura geométrica es finita, es decir, forma un conjunto acotado del espacio euclídeo, entonces el grupo de isometría no incluye ninguna traslación y por tanto su grupo de isometría es un subgrupo del espacio O(n)\,. Si la figura presenta sólo un número finito de (hiper)planos de simetría entonces el grupo de isometría será un grupo finito.

Grupo de isometría de un polígono regular

El grupo de isometría de un polígono regular de n lados está formado por n rotaciones y n reflexiones, llamado grupo diédrico D_{2n}\,, formado por 2n elementos expresables en forma matricial como:

\begin{bmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\\
                       \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) &   cos\left(\frac{\pi}{n}\right) 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
(-1)^\alpha & 0 \\ 0 & +1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\\
                \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) &   cos\left(\frac{\pi}{n}\right) 
\end{bmatrix}


Grupo de isometría de un círculo

El grupo de isometría de un círculo al existir infinitos planos de simetría es precisamente O(2,\R)\, y cualquier simetría de un círculo centrado en el origen puede ser representado por una matriz de la forma:

M = \begin{bmatrix} (-1)^\beta & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (-1)^\gamma \end{bmatrix}


Donde \beta, \gamma \in \{0,1\} y \alpha \in [0,2\pi) \subset \R.

Grupo de isometría de un rectángulo

El grupo de isometría de un rectángulo, que no sea un cuadrado, se llama grupo de Klein y está formado por cuatro elementos: rotación de 180º, reflexión según el eje de simetría vertical, reflexión el eje de simetría horizontal y la identidad (rotación de 0º).

Grupo de isometría de espacios con producto interno

La distancia en ciertos espacios métricos puede definirse a partir de la norma inducida por un producto interno o forma cuadrática métrica. Un ejemplo de esto son las variedades de Riemann.

De ese modo cualquier aplicación entre variedades de Riemann en sí misma que mantenga inalterado el producto interno de dos campos vectoriales es de hecho una isometría. Eso permite generalizar el concepto de isometría incluso a espacios que no tienen una distancia bien definida, como las variedades pseudoriemannianas. En una variedad pseudoriemanniana una isometría es una transformación o aplicación que mantiene el producto interno de dos vectores.

Grupo de isometría en teoría de la relatividad

En la teoría de la relatividad un espacio-tiempo se representa por una variedad pseudoriemanniana. Esta variedad en el caso de la teoría especial, puede tener un grupo de isometría continuo dado por un grupo de Lie de dimensión menor o igual que diez. La dimensión de este grupo de isometría coincide con el número de vectores de Killing linealmente independiente que admite el tensor métrico de la variedad pseudoriemanniana que define la forma y propiedades básicas del espacio-tiempo.

Véase también


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