Diagrama de Venn

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Diagrama de Venn

Diagrama de Venn

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Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.

Contenido

Orígenes e Historia

Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge, conmemorando la estancia de Venn y su principal descubrimiento

Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes.

Venn introdujo el sistema de representaci√≥n que hoy conocemos en julio de 1880 con la publicaci√≥n de su trabajo titulado ¬ę De la representaci√≥n mec√°nica y diagram√°tica de proposiciones y razonamientos¬Ľ[1] [2] [3] en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la l√≥gica formal. Aunque la primera forma de representaci√≥n geom√©trica de silogismos l√≥gicos se atribuye com√ļnmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el m√©todo de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representaci√≥n anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo est√°ndar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalizaci√≥n para los mismos.

M√°s adelante desarroll√≥ algo m√°s su nuevo m√©todo en su libro L√≥gica simb√≥lica, publicado en 1881 con el √°nimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la l√≥gica formal. Aunque no tuvo demasiado √©xito en su empe√Īo, su libro se convirti√≥ en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de representaci√≥n. Sigui√≥ us√°ndolo en su siguiente libro sobre l√≥gica (Los principios de la l√≥gica emp√≠rica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez m√°s empleados como representaci√≥n de relaciones l√≥gicas.

La primera referencia escrita al término "diagrama de Venn" de la que se tiene constancia es muy tardía (1918), en el libro A Survey of Symbolic Logic, de Clarence Irving Lewis.[4] [5] [6]

Los diagramas de Venn se emplean hoy d√≠a para ense√Īar matem√°ticas elementales y para reducir la l√≥gica y la Teor√≠a de conjuntos al c√°lculo simb√≥lico puro. Se suelen usar tambi√©n en el aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como herramienta de s√≠ntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las caracter√≠sticas exclusivas, y en las intersecciones, las comunes con los otros.

Tipos de diagramas de Venn

Diagrama de dos conjuntos

Conjuntos A y B

Considérese el ejemplo a la derecha: supóngase que el conjunto A (el círculo naranja) representa, por ejemplo, a todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El área donde ambos círculos se superponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen sólo dos piernas motrices.

Imaginemos ahora que cada tipo distinto de criatura viva est√° representado con un punto situado en alguna parte del diagrama. Los humanos y los ping√ľinos estar√≠an dentro del c√≠rculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se superpone con el c√≠rculo azul (el conjunto B), ya que ambos son b√≠pedos y no pueden volar. Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden volar, estar√≠an representados con un punto dentro del c√≠rculo azul fuera de la intersecci√≥n A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estar√≠an representados por un punto dentro de la intersecci√≥n A - B. Cualquier tipo de criatura que ni tuviera dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las ballenas o las serpientes), estar√≠a representado mediante puntos fuera de ambos c√≠rculos.

El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el conjunto A y el conjunto B. El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B. La unión en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez. El área donde los conjuntos A y B se solapan se define como la intersección de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas y pueden volar.

Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres conjuntos A, B y C.

Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 4 √°reas diferentes (la cuarta es la exterior), que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:

  • A (dos patas)
  • A y B (dos patas y vuelan)
  • A y no B (dos patas y no vuelan)
  • no A y B (m√°s o menos de dos patas, y vuelan)
  • no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan)
  • B (vuelan)

A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de universo de discurso (antes se creía en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand Russell descubrió que con tal concepto el sistema es inconsistente véase paradoja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos

Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen SIETE áreas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.

M√°s de tres conjuntos

La dificultad de representar m√°s de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representaci√≥n gr√°fica) es evidente. Venn sent√≠a afici√≥n a la b√ļsqueda de diagramas para m√°s de tres conjuntos, a los que defin√≠a como "figuras sim√©tricas, elegantes en s√≠ mismas". A lo largo de su vida dise√Ī√≥ varias de estas representaciones usando elipses, as√≠ como indicaciones para la creaci√≥n de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres c√≠rculos.

Diagramas de Venn de Edwards

A. W. F. Edwards dise√Ī√≥ representaciones para diagramas de Venn de m√°s de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar f√°cilmente tres conjuntos tomando tres hemisferios en √°ngulos rectos (x=0, y=0 y z=0). Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ide√≥ estos diagramas mientras dise√Īaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor de su colegio.

Diagrama para tres conjuntos
Diagrama para cuatro conjuntos
Diagrama para cinco conjuntos
Diagrama para seis conjuntos

Otros diagramas

Los diagramas de Edwards son topol√≥gicamente equivalentes a los diagramas dise√Īados por Branko Gr√ľnbaum, que se basaban en pol√≠gonos intersecados, con cantidades crecientes de lados. Phillip Smith ide√≥ diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en ecuaciones como y=sin(2ix)/2i, 0 ‚ȧi ‚ȧn-2. Por su parte, Lewis Carroll dise√Ī√≥ un diagrama de cinco conjuntos.

V√©ase tambi√©n: Carta de Smith y Diagrama de Carroll

Diagramas similares

Diagramas de Euler

Diagrama de Euler

Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusión de una clase en otra. Por ejemplo, en el representado a la derecha un conjunto (el A) está totalmente incluido en otro (el B), mientras que otro (el C) no tiene ninguna relación con los dos anteriores.

Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn,[7] pero son distintos. Fueron introducidos por Euler para ayudar en la comprensión. John Venn intenta rectificar algunas deficiencias a través de los Diagramas de Venn.

Supongamos que el conjunto A representa todos los tipos de queso que pueden encontrarse en el mundo, y el B representa a todos los comestibles existentes en el mundo. Seg√ļn el diagrama, se ve claramente que todos los quesos son comestibles, pero no todos los comestibles son quesos. Si definimos el conjunto C como el de las cosas hechas de metal, el diagrama nos permite representar de forma evidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no est√°n hechos de metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.

Diagrama de Johnston

Diagrama de Johnston para la expresión ni A ni B son ciertas

Los diagramas de Johnston se usan para ilustrar afirmaciones lógicas como ni A ni B son ciertas, y son una forma visual de ilustrar tablas de verdad. Pueden ser idénticos en apariencia a diagramas de Venn, pero no representan conjuntos de elementos.

Mapa de Karnaugh

Artículo principal: Mapa de Karnaugh

Los Mapas de Karnaugh o Diagramas de Veitch son otra forma de representar de forma visual expresiones de √°lgebra booleana.

Diagrama de Peirce

Los diagramas de Peirce, creados por Charles Peirce, son extensiones de los diagramas de Venn que incluyen información sobre afirmaciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones.[8]

Referencias

  1. ‚ÜĎ Venn, John (1880). ¬ęOn the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings¬Ľ The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Vol. 9. n.¬ļ 1-18.
  2. ‚ÜĎ Ruskey, Frank y Weston, Mark (2005). ¬ęWhat is a Venn Diagram?¬Ľ. p√°g. principal: A Survey of Venn Diagrams, The Electronic Journal of Combinatorics. Consultado el agosto 2007.
  3. ‚ÜĎ Otte, Andreas (1998). ¬ęVenn-Diagramme: Einleitung¬Ľ. Begriffslogik.de. Consultado el agosto 2007.
  4. ‚ÜĎ Oxford English Dictionary, 2¬™ edici√≥n.
  5. ‚ÜĎ Darling, David (-). ¬ęVenn Diagram¬Ľ. The Internet Encyclopedia of Science. Consultado el agosto 2007.
  6. ‚ÜĎ Bogomolny, Alexander (1996-2007). ¬ęLewis Carroll's Logic Game¬Ľ. Cut-the-Knot.org. Consultado el agosto 2007.
  7. ‚ÜĎ Euler, Leonard (traducido por Sir David Brewster) (1768, 1823: traducci√≥n). Lettres √† une Princesse d'Allemagne. San Petersburgo, Edinburgo (traducci√≥n):W & C Tait, y Longman et al.. Ver en particular en el vol. 1. las cartas CII - CVIII en las p√°ginas 337-366).
  8. ‚ÜĎ Ejemplos de diagramas de Peirce

Bibliografía

  • Edwards, Anthony W. F. (2004). Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams. Baltimore (Maryland): The John Hopkins University Press. ISBN 0-8018-7434-3.
  • Stewart, Ian (1992). Another Fine Math You've Got Me Into. Dover Publications. ISBN 0-486-43181-9.
  • Thompson, Katherine. Cogwheels of the Mind. Reviewed by Katherine Thompson.

Véase también

Enlaces externos

Commons

Herramientas para hacer diagramas de Venn

Herramientas para hacer diagramas de Euler

Obtenido de "Diagrama de Venn"

Wikimedia foundation. 2010.

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  • diagrama ‚ÄĒ (Del gr. diagramma, dise√Īo < dia, a trav√©s + gramma, l√≠nea.) ‚Ėļ sustantivo masculino 1 Representaci√≥n gr√°fica de un fen√≥meno o una ley cient√≠fica. 2 ESTAD√ćSTICA Representaci√≥n gr√°fica de las relaciones entre los elementos que constituyen un… ‚Ķ   Enciclopedia Universal

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  • John Venn ‚ÄĒ Nacimiento 4 de agosto de 1834 Kin ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

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