Operador laplaciano

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Operador laplaciano

En c√°lculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial el√≠ptico de segundo orden, denotado como őĒ, relacionado con ciertos problemas de minimizaci√≥n de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudi√≥ soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparec√≠a dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad ŌÜ), de donde el uso del s√≠mbolo delta (őĒ) o nabla cuadrado (\nabla^2) para representarlo. Si \phi, \mathbf{A}, son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en t√©rminos del operador nabla como:

\Delta\phi= (\nabla\cdot\nabla)\phi = \nabla^2 \phi \qquad \qquad
\Delta\mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) =  (\nabla\cdot\nabla)\mathbf{A}

Contenido

Problemas relacionados con el operador laplaciano

En f√≠sica, el laplaciano aparece en m√ļltiples contextos como la teor√≠a del potencial, la propagaci√≥n de ondas, la conducci√≥n del calor, la distribuci√≥n de tensiones en un s√≥lido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrost√°tica y en la mec√°nica cu√°ntica. En la electrost√°tica, el operador laplaciano aparece en la ecuaci√≥n de Laplace y en la ecuaci√≥n de Poisson. Mientras que en la mec√°nica cu√°ntica el laplaciano de la funci√≥n de onda de una part√≠cula da la energ√≠a cin√©tica de la misma. En matem√°ticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones arm√≥nicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teor√≠a de funciones de variable compleja. Adem√°s el operador laplaciano es el ingrediente b√°sico de la teor√≠a de Hodge y los resultados de la cohomolog√≠a de Rham.

Motivación de la ubicuidad del operador laplaciano

Una de las motivaciones por las cuales el Laplaciano aparece en numerosas √°reas de la f√≠sica es que las soluciones de la ecuaci√≥n őĒf = 0 en una regi√≥n U son funciones que minimizan el funcional de energ√≠a:

 E(f) = \frac{1}{2} \int_U \Vert \nabla f \Vert^2 \mathrm{d}x


Para ver esto supóngase que f\colon U\to \mathbb{R} es una función, y u\colon U\to \mathbb{R} es una función que se anula sobre la frontera de U. Entonces,

 \frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \mathrm{d} x = -\int_U u \Delta f \mathrm{d} x


donde la √ļltima igualdad se sigue usando la primera identidad de Green. Este c√°lculo muestra que si őĒf = 0, entonces el funcional de energ√≠a E es estacionario alrededor de f. Rec√≠procamente, si E es estacionario alrededor de f, entonces őĒf = 0 por el teorema fundamental del c√°lculo integral.

Otra razón de su ubicuidad es que cuando uno escribe la ecuación de Laplace en forma diferencias finitas se aprecia que el Laplaciano en un punto es la diferencia entre el valor de la función en el punto y el valor de la función alrededor. Es decir, cualquier magnitud que puede expresarse como una magnitud flujo que se conserva satisface la ecuación de Laplace.

Propiedades del operador laplaciano

El laplaciano es lineal:

 \nabla^2 (\lambda f + \mu g) = \lambda \nabla^2 f + \mu \nabla^2 g

La siguiente afirmación también es cierta:

\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g)

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano de una función f es:

\Delta f=\nabla^2 f= {\partial^2 f \over \partial x^2 } +
{\partial^2 f \over \partial y^2 }

En coordenadas cartesianas tridimensionales:

\Delta f = \nabla^2 f = 
{\partial^2 f \over \partial x^2 } +
{\partial^2 f \over \partial y^2 } +
{\partial^2 f \over \partial z^2 }

En coordenadas cartesianas en \mathbb{R}^n:

\Delta f(x_1,...,x_n)= \sum_{k=1}^n
{\partial^2 f \over \partial x_k^2 }(x_1,...,x_n)

Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z)\,:

 \Delta f = \nabla^2 f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } 
= {1 \over \rho} {\partial f \over \partial \rho} 
+ {\partial^2 f \over \partial \rho^2}
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }
.

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas (r,\theta,\phi)\,:

\Delta f = \nabla^2 f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}

Coordenadas curvilíneas ortogonales

En coordenadas ortogonales generales (u_1,u_2,u_3)\,:

\Delta f = \nabla^2 f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\part}{\part u_1} \left(\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\part f}{\part u_1}\right)+
\frac{\part}{\part u_2} \left(\frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\part f}{\part u_2}\right)+
\frac{\part}{\part u_3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\part f}{\part u_3}\right) \right]

Donde (h_1,h_2,h_3)\, son los factores de escala del sistema de coordenadas, que en general serán tres funciones dependientes de las tres coordenadas curvilíneas.

Función armónica

Una función f: E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} se dice que es armónica en E si:

\forall x \in E, \,\, \Delta f(x) = 0

Ejemplos de funciones armónicas:

Generalizaciones del Laplaciano

El Laplaciano puede ser extendido a funciones definidas sobre superficies, o en forma m√°s general, en variedades de Riemann y variedades seudoriemannianas.

Operador de Laplace-Beltrami

Una extensión del Laplaciano a funciones reales defindas sobre una variedad es el operador de Laplace-Beltrami (denotado \nabla^2). Se lo define, en forma similar al Laplaciano, como la divergencia del gradiente, donde el gradiente una función f definida en una variedad (seudo)riemaniana y la divergencia de un campo vectorial X sobre la misma vienen dados en componentes por:

(\mbox{grad}\ f)^i = g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j} \qquad \mbox{div}\ X = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^j}\left(\sqrt{|g|}X^i\right)

Donde: gij, es tensor 2-contravariante asociado al tensor métrico. \sqrt{|g|}, es la raíz cuadrada del valor absoluto del determinante del tensor métrico. El operador de Laplace-Beltrami de una función escalar, se obtiene como la divergencia y el gradiente definidos como anteriormente es decir:

\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^k}\left(\sqrt{|g|}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)

Operador de Laplace-deRham

En variedades riemannianas y seudoriemanninas existe otra generalizaci√≥n del laplaciano que lo extiende a k-formas, que es la base de la cohomolog√≠a de Hodge-deRham. Esta extensi√≥n llamada operador de Laplace-deRham, y denotado como \boldsymbol\Delta, se define en t√©rminos de la diferencial exterior (d) y la codiferencial exterior (őī) de k-formas o alternativamente en t√©rminos de la diferencial exterior y el operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham se define como:

\boldsymbol{\Delta}\alpha = (d\delta+\delta d) \alpha = (d+\delta)^2 \alpha

Donde se ha usado que la codiferencial puede reescribirse en términos de la diferencial exterior y el operador dual de Hodge:

\delta = (-1)^{n(k+1)+1}*d* \;

Donde n es la dimensi√≥n de la variedad (seudo)riemanniana y k es el orden de la k-forma őĪ.

Véase también

Enlaces externos


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