Alternativas irrelevantes

Alternativas irrelevantes

Una Regla de Elección Definida a Partir de una Distancia


La Regla \mathbf{C^\Sigma}


Definición 1

Dado un conjunto A definimos \mathcal{M}(A) como conjunto formado por todos los multiconjuntos cuyos elementos están en A. Por ejemplo si, A = {a,b,c}, entonces {a,a,a,b,b}\in
\mathcal{M}(A).

Además dados \mu_1,\mu_2\in \mathcal{M}(B) denotamos la unión de multiconjuntos por \mu_1\sqcup\mu_2, este es el multiconjunto formado por los elementos que están o bien en μ1, o bien en μ2. Por ejemplo, \{a,b,b\}\sqcup \{b,a\}=\{a,a,b,b,b\}.


Definición 2

Definimos la distancia-Σ entre un elemento de X y un multiconjunto de \mathcal{P}(X) de la siguiente manera:

d^\Sigma:X\times \mathcal{M}\left(\mathcal{P}(X)\right)\longrightarrow N


d^\Sigma(x,\mu)=\sum_{A\in \mu}d^*(x,A)


Dado un perfil u=(\leq_1,\cdots,\leq_k) se le puede asociar un elemento \rho_u\in \mathcal{M}(\mathcal{P}(X)), llamado el conjunto de preferencias principales, de la siguiente manera:


\rho_u=\{\min(\leq_1),\cdots,\min(\leq_k)\}


Ahora se define \leq_u^{\Sigma} asociado a un perfil u:

x\leq_u^{\Sigma} y\Longleftrightarrow d^\Sigma(x,\rho_u)\leq
d^\Sigma(y,\rho_u).



Finalmente se puede definir C_u^{\Sigma} como la regla de elección asociada a \leq_u^{\Sigma}$, es decir, C_u^{\Sigma}(V)=\min(V,\leq_u^{\Sigma}).


Esta regla así definida no satisface dos de las condiciones del Teorema de Imposibilidad de Arrow. Esas propiedades son: La propiedad de Independencia de Alternativas Irrelevantes y la Propiedad de Pareto.


Wikimedia foundation. 2010.

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