Mec√°nica cl√°sica

ÔĽŅ
Mec√°nica cl√°sica
El Sistema Solar puede ser explicado con gran aproximaci√≥n mediante la mec√°nica cl√°sica, concretamente, mediante las leyes de Newton y la ley de la gravitaci√≥n universal de Newton. S√≥lo algunas peque√Īas desviaciones en el perihelio de mercurio que fueron descubiertos tard√≠amente no pod√≠an ser explicadas por las teor√≠a de Newton y s√≥lo pudieron ser explicados mediante la teor√≠a de la relatividad general de Einstein.

La mec√°nica cl√°sica es una formulaci√≥n de la mec√°nica para describir mediante leyes el comportamiento de cuerpos f√≠sicos macrosc√≥picos en reposo y a velocidades peque√Īas comparadas con la velocidad de la luz.

Existen varias formulaciones diferentes, de la mecánica clásica para describir un mismo fenómeno natural, que independientemente de los aspectos formales y metodológicos que utilizan llegan a la misma conclusión.

  • La mec√°nica vectorial, deviene directamente de las leyes de Newton, por eso tambi√©n se le conoce con el gentilicio de newtoniana. Es aplicable a cuerpos que se mueven en relaci√≥n a un observador a velocidades peque√Īas comparadas con la de la luz. Fue construida en un principio para una sola part√≠cula movi√©ndose en un campo gravitatorio. Se basa en el tratamiento de dos magnitudes vectoriales bajo una relaci√≥n causal: la fuerza y la acci√≥n de la fuerza, medida por la variaci√≥n del momentum (cantidad de movimiento). El an√°lisis y s√≠ntesis de fuerzas y momentos constituye el m√©todo b√°sico de la mec√°nica vectorial. Requiere del uso privilegiado de sistemas de referencia inercial.
  • La mec√°nica anal√≠tica (anal√≠tica en el sentido matem√°tico de la palabra y no filos√≥fico). Sus m√©todos son poderosos y trascienden de la Mec√°nica a otros campos de la f√≠sica. Se puede encontrar el germen de la mec√°nica anal√≠tica en la obra de Leibniz que propone para solucionar los problemas mec√°nicos otras magnitudes b√°sicas (menos oscuras seg√ļn Leibniz que la fuerza y el momento de Newton), pero ahora escalares, que son: la energ√≠a cin√©tica y el trabajo. Estas magnitudes est√°n relacionadas de forma diferencial. La caracter√≠stica esencial es que, en la formulaci√≥n, se toman como fundamentos primeros principios generales (diferenciales e integrales), y que a partir de estos principios se obtengan anal√≠ticamente las ecuaciones de movimiento.

Contenido

Principios b√°sicos e invariantes

Trayectoria de una partícula y su posición \displaystyle\vec{r_i}(t) en función del tiempo.

Los presupuestos b√°sicos de la mec√°nica cl√°sica son los siguientes:

  1. El Principio de Hamilton o principio de mínima acción (del cual las leyes de Newton son una consecuencia).
  2. La existencia de un tiempo absoluto, cuya medida es igual para cualquier observador con independencia de su grado de movimiento.
  3. El estado de una partícula queda completamente determinado si se conoce su cantidad de movimiento y posición siendo estas simultáneamente medibles. Indirectamente, este enunciado puede ser reformulado por el principio de causalidad. En este caso se habla de predictibilidad teóricamente infinita: matemáticamente si en un determinado instante se conocieran (con precisión infinita) las posiciones y velocidades de un sistema finito de N partículas teóricamente pueden ser conocidas las posiciones y velocidades futuras, ya que en principio existen las funciones vectoriales \displaystyle\{\vec{r}_i=\vec{r}_i(t;\vec{r}_{i,0},\vec{v}_{i,0}\}_{i=1}^N que proporcionan las posiciones de las partículas en cualquier instante de tiempo. Estas funciones se obtienen de unas ecuaciones generales denominadas ecuaciones de movimiento que se manifiestan de forma diferencial relacionando magnitudes y sus derivadas. Las funciones \displaystyle\{\vec{r_i}(t)\}_{i=1}^N se obtienen por integración, una vez conocida la naturaleza física del problema y las condiciones iniciales.

Es interesante notar que en mecánica relativista el supuesto (2) es inaceptable aunque sí son aceptables los supuestos (1) y (3). Por otro lado, en mecánica cuántica no es aceptable el supuesto (3) (en la mecánica cuántica relativista ni el supuesto (2) ni el (3) son aceptables).


Aunque la mecánica clásica y en particular la mecánica newtoniana es adecuada para describir la experiencia diaria (con eventos que suceden a velocidades muchísimo menores que la velocidad de la luz y a escala macroscópica), debido a la aceptación de estos tres supuestos tan restrictivos como (1), (2) y (3), no puede describir adecuadamente fenómenos electromagnéticos con partículas en rápido movimiento, ni fenómenos físicos microscópicos que suceden a escala atómica.

Sin embargo, esto no es un demérito de la teoría ya que la simplicidad de la misma se combina con la adecuación descriptiva para sistemas cotidianos como: cohetes, movimiento de planetas, moléculas orgánicas, trompos, trenes y trayectorias de móviles macroscópicos en general. Para estos sistemas cotidianos es muy complicado siquiera describir su movimientos en términos de la teorías más generales como:

Mec√°nica newtoniana

Artículo principal: Mecánica newtoniana

La mecánica newtoniana o mecánica vectorial es una formulación específica de la mecánica clásica que estudia el movimiento de partículas y sólidos en un espacio euclídeo tridimensional. Aunque la teoría es generalizable, la formulación básica de la misma se hace en sistemas de referencia inerciales donde las ecuaciones básicas del movimientos se reducen a las Leyes de Newton, en honor a Isaac Newton quien hizo contribuciones fundamentales a esta teoría.

En mecánica vectorial precisamos de tres ecuaciones escalares, o una ecuación vectorial, para el caso más simple de una sola partícula:

\dot{\mathbf{p}} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf{F}, \qquad 
\begin{cases}
\dot{p}_x = m\frac{dv_x}{dt} = F_x \\ \dot{p}_y = m\frac{dv_y}{dt} = F_y \\ 
\dot{p}_z = m\frac{dv_z}{dt} = F_z \end{cases}

y en el caso de sistemas formados por N part√≠culas puntuales, el n√ļmero de ecuaciones escalares es igual a 3N. En mec√°nica newtoniana tambi√©n pueden tratarse los s√≥lidos r√≠gidos mediante una ecuaci√≥n vectorial para el movimiento de traslaci√≥n del s√≥lido y otra ecuaci√≥n vectorial para el movimiento de rotaci√≥n del s√≥lido:

\begin{cases}
\dot{\mathbf{p}} = \cfrac{d}{dt}(m\mathbf{v}) = \mathbf{F}_R \\
\dot{\mathbf{L}} = \cfrac{d}{dt}(\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{M}_R \end{cases}

Estas ecuaciones constituyen la base de partida de la mecánica del sólido rígido.

Mecánica analítica

Artículo principal: Mecánica analítica

La mecánica analítica es una formulación más abstracta y general, que permite el uso en igualdad de condiciones de sistemas inerciales o no inerciales sin que, a diferencia de las leyes de Newton, la forma básica de las ecuaciones cambie. La mecánica analítica tiene, básicamente dos formulaciones: la formulación lagrangiana y la formulación hamiltoniana. Las dos llegan básicamente a los mismo resultados físicos, aunque la elección del enfoque puede depender del tipo de problema.

El germen de la mecánica analítica puede encontrarse en los trabajos de Leibniz y en la definición de dos magnitudes escalares básicas: la energía cinética y el trabajo. Estas magnitudes están relacionadas de forma diferencial por la ecuación del principio de fuerzas vivas:

\displaystyle dE_c=\delta W,

Una propiedad notable de este principio es que siendo el movimiento general un fen√≥meno en varias dimensiones, parece misterioso que con dos magnitudes escalares relacionadas mediante una sola ecuaci√≥n diferencial, podamos predecir la evoluci√≥n de los sistemas mec√°nicos (en la mec√°nica vectorial precisamos de 3N ecuaciones siendo N el n√ļmero de part√≠culas).

Aunque las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana son esencialmente equivalentes, siendo m√°s conveniente un enfoque u otro seg√ļn el objeto del an√°lisis. Formalmente cabe se√Īalar que la mec√°nica lagrangiana se describe el movimiento de un conjunto de N part√≠culas puntuales mediante coordenadas generales sobre el fibrado tangente del llamado espacio de configuraci√≥n mediante un sistema de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. En cambio en mec√°nica hamiltoniana el movimiento se describe mediante 2N ecuaciones diferenciales de primer orden sobre una variedad simpl√©ctica formada a partir del fibrado tangente mencionado. El conjunto de transformaciones de coordenadas que permitan resolver el problema es m√°s amplio en mec√°nica hamiltoniana.

Mec√°nica lagrangiana

Artículo principal: Mecánica lagrangiana

La mec√°nica lagrangiana tiene la ventaja de ser suficientemente general como para que las ecuaciones de movimiento sean invariantes respecto a cualquier cambio de coordenadas. Eso permite trabajar con sistema de referencia inerciales o no-inerciales en pie de igualdad.

Para un sistema de n grados de libertad, la mecánica lagrangiana proporciona un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, llamadas ecuaciones del movimiento que permiten conocer como evolucionará el sistema. La forma explícita de las ecuaciones tiene la forma:

(*) \frac{d}{dt}\frac{\part L}{\part \dot{q}_i} - \frac{\part L}{\part q_i} = 0

Donde L(q_1,\dots,q_n,\dot{q}_i,\dots,\dot{q}_n,t) es la expresi√≥n de lagrangiano en el sistema de coordenadas generalizadas (q_1,\dots,q_n,\dot{q}_i,\dots,\dot{q}_n)\in\R^{2n}. Aunque en general la integraci√≥n del sistema de ecuaciones (*) no es sencilla, resulta de gran ayuda reducir el n√ļmero de coordenadas del problema buscando magnitudes conservadas, es decir, magnitudes que no var√≠an a lo largo del tiempo. Las magnitudes conservadas tambi√©n se suelen llamar integrales del movimiento y suelen estar asociadas a leyes de conservaci√≥n comunes.

En mecánica lagrangiana existe un modo muy elegante de buscar integrales de movimiento a partir del teorema de Noether. De acuerdo con este teorema cuando un lagrangiano es invariante bajo un grupo de simetría uniparamétrico entonces cualquier generador del álgebra de Lie asociada a ese grupo uniparmétrico es proporcional a una magnitud conservada:

  • As√≠ cuando un problema f√≠sico tiene alg√ļn tipo de simetr√≠a rotacional, su lagrangiano es invariante bajo alg√ļn grupo de rotaci√≥n y tenemos que se conserva el momento angular.
  • Cuando un problema f√≠sico presenta simetr√≠a traslacional, es decir, cuando las fuerzas que act√ļan sobre un sistema de part√≠culas son id√©nticas en cualquier posici√≥n a lo largo de una l√≠nea, tenemos que en esa direcci√≥n se conserva el momento lineal.
  • La ley de conservaci√≥n de la energ√≠a est√° asociada a una simetr√≠a de traslaci√≥n en el tiempo. Cuando las ecuaciones b√°sicas de un sistema son iguales en todos los instantes del tiempo y los par√°metros que determinan el problema no dependen del tiempo, entonces la energ√≠a de dicho sistema se conserva.

La mecánica lagrangiana puede generalizarse de forma muy abstracta e incluso ser usada en problemas fuera de la física (como en el problema de determinar las geodésicas de una variedad de Riemann). En esa forma abstracta la mecánica lagrangina se construye como un sistema dinámico sobre el fibrado tangente de cierto espacio de configuración aplicándose diversos teoremas y temas de la geometría diferencial.

Mec√°nica hamiltoniana

Artículo principal: Mecánica hamiltoniana
Espacio de fases de un péndulo forzado. El sistema se hace caótico.

La mecánica hamiltoniana es similar, en esencia, a la mecánica lagrangiana, aunque describe la evolución temporal de un sistema mediante ecuaciones diferenciales de primer orden, lo cual permite integrar más fácilmente las ecuaciones de movimiento. En su forma canónica las ecuaciones de Hamilton tienen la forma:


{\partial H \over \partial q_i} = - \dot{p_i}, \qquad
{\partial H \over \partial p_i} = \dot{q_i}

Donde H es la función de Hamilton o hamiltoniano, y (q_i, p_i)_{i=1...n} \, son los pares de coordenadas canónicas conjugadas del problema. Usualmente las variables tipo qi se interpretan como coordenadas generalizadas de posición y las pi como momentos asociados a las velocidades.

Sin embargo, una característica notable de la mecánica hamiltoniana es que trata en pie de igualdad los grados de libertad asociados a la posición y a la velocidad de una partícula. De hecho en mecánica hamiltoniana no podemos distinguir formalmente entre coordenadas generalizadas de posición y coordenadas generaliadas de momento. De hecho se puede hacer un cambio de coordenadas en que las posiciones queden convertidas en momentos y los momentos en posiciones. Como resultado de esta descripción igualitaria entre momentos y posiciones la mecánica hamiltoniana admite transformaciones de coordenadas mucho más generales que la mecánica lagrangiana. Esa mayor libertad en escoger coordenadas generalizadas se traduce en una mayor capacidad para poder integrar las ecuaciones de movimiento y determinar propiedades de las trayectorias de partículas.

Una generalización de la mecánica hamiltoniana es la geometría simpléctica, en esa forma la mecánica hamiltoniana es usada para resolver problemas no físicos, incluso para la matemática básica. Algunas generalizaciones y regeneralizaciones de la mecánica hamiltoniana son:

  • La geometr√≠a simpl√©ctica
  • La geometr√≠a de contacto que propiamente es una generalizaci√≥n de la anterior.
  • La mec√°nica de Nambu que es una especie de mec√°nica hamiltoniana con varios hamiltonianos simult√°neos.[cita requerida]

Mec√°nica relativista y mec√°nica cu√°ntica

La mecánica relativista va más allá de la mecánica clásica y trata con objetos moviéndose a velocidades relativamente cercanas a la velocidad de la luz. En mecánica relativista siguen siendo válido los supuestos básicos 1 y 3 aunque no el 2.

La mecánica cuántica trata con sistemas de reducidas dimensiones (a escala semejante a la atómica), y la teoría cuántica de campos (véase también campo) trata con sistemas que exhiben ambas propiedades. En mecánica cuántica son válidos los supuestos básicos 1 y 2, pero no el 3. Mientras que en teoría cuántica de campos sólo se mantiene el supuesto 1.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Mec√°nica cl√°sica ‚ÄĒ La Mec√°nica Cl√°sica, tambi√©n conocida como Mec√°nica de Newton en honor a Isaac Newton, quien hizo contribuciones fundamentales a la teor√≠a de la Mec√°nica, es la parte de la f√≠sica que analiza las fuerzas que act√ļan sobre un objeto. Se subdivide… ‚Ķ   Enciclopedia Universal

  • Hamiltoniano (mec√°nica cl√°sica) ‚ÄĒ Para la versi√≥n cu√°ntica del Hamiltoniano, v√©ase Hamiltoniano (mec√°nica cu√°ntica). El hamiltoniano es una funci√≥n escalar a partir de la cual pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento de un sistema mec√°nico cl√°sico que se emplea en el enfoque ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Historia de la mec√°nica cl√°sica ‚ÄĒ En este art√≠culo sobre historia se detectaron los siguientes problemas: Necesita ser wikificado conforme a las convenciones de estilo de Wikipedia. Carece de fuentes o referencias que aparezcan en una fuente acreditada. Po ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Mec√°nica Estad√≠stica ‚ÄĒ es la aplicaci√≥n de la estad√≠stica, que incluye herramientas matem√°ticas para tratar con grandes poblaciones en el campo de la mec√°nica, lo que ocncierne al movimiento de las part√≠culas u objetos sujetos a una fuerza. Suministra una base para… ‚Ķ   Enciclopedia Universal

  • Mec√°nica ‚ÄĒ La Mec√°nica comprende el estudio de las m√°quinas (Polea simple fija). Para otros usos de este t√©rmino, v√©ase Mec√°nica (desambiguaci√≥n). La mec√°nica (Griego őúő∑ŌáőĪőĹőĻőļőģ y de lat√≠n mechan√¨ca o arte de construir una m√°quina) es la rama de la f√≠sica que ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Mec√°nica cu√°ntica ‚ÄĒ Imagen ilustrativa de la dualidad onda part√≠cula, en el cual se puede ver c√≥mo un mismo fen√≥meno puede tener dos percepciones distintas. La mec√°nica cu√°ntica[1] [2] es ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Mec√°nica newtoniana ‚ÄĒ La primera y segunda ley de Newton, en lat√≠n, en la edici√≥n original de su obra Principia Mathematica. La mec√°nica newtoniana o mec√°nica vectorial es una formulaci√≥n espec√≠fica de la mec√°nica cl√°sica que estudia el movimiento de part√≠culas y… ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Mec√°nica matricial ‚ÄĒ La Mec√°nica matricial es una formulaci√≥n de la mec√°nica cu√°ntica creada por Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en 1925. La mec√°nica matricial fue la primera definici√≥n completa y correcta de la mec√°nica cu√°ntica. Extiende el modelo de… ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Mec√°nica anal√≠tica ‚ÄĒ La mec√°nica anal√≠tica es una formulaci√≥n abstracta y general de la mec√°nica,[1] que permite el uso en igualdad de condiciones de sistemas inerciales o no inerciales sin que, a diferencia de las leyes de Newton, la forma b√°sica de las ecuaciones… ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol

  • Mec√°nica hamiltoniana ‚ÄĒ La mec√°nica hamiltoniana fue formulada en 1833 por William R. Hamilton. Como la mec√°nica lagrangiana, es una reformulaci√≥n de la mec√°nica cl√°sica. La mec√°nica hamiltoniana puede ser formulada por s√≠ misma, usando los espacios simpl√©cticos, sin… ‚Ķ   Wikipedia Espa√Īol


Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select ‚ÄúCopy Link‚ÄĚ

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.